概念

给定一张二分图，求出一个最小的点集$S$,使得图中任意一条边都至少一个端点属于$S$。这个问题被称为二分图的最小点覆盖。

Konig定理

二分图最小点覆盖包含的点数等于二分图最大匹配包含的边数。

证明：

因为最大匹配是原二分图边集的一个子集，并且所有的边都不相交，所以需要从每条匹配边中选出一个端点。因此，最小点覆盖包含的点数不可能小于最大匹配包含的边数。如果能对任意二分图构造出一组点覆盖，其包含的点数等于最大匹配包含的边数那么定理就能得证。

构造方法：

1.求出二分图最大匹配

2.从左部每个非匹配点出发，再执行一次DFS寻找增广路的过程（一定会失败），标记访问过的节点

3.取左部未被标记的点、右部被标记的点，就得到了二分图的最小点覆盖

下面证明该构造的正确性。

1.左部非匹配点一定都被标记－－因为它们是出发点

2.右部非匹配点一定都没被标记－－否则就找到了增广路

3.一对匹配点要么都被标记，要么都没被标记－－因为在寻找增广路的过程中，左部匹配点只能通过右部到达。

在构造中，我们取了左部未被标记的点，右部被标记的点。根据上面的讨论可以发现，恰好是每条匹配边取了一个点，所以选出的点数等于最大匹配包含的边数。

是否覆盖了所有的边：

1.匹配边一定被覆盖－－因为恰好有一个端点被取走

2.不存在连接两个非匹配点的边－－否则就有长度为1的增广路了

3.连接左部非匹配点i，右部匹配点j的边－－因为i是出发点，所以j一定被访问。而我们取了右部所有被标记的点，因此这样的边也被覆盖。

4.连接左部匹配点i，右部非匹配点j的边－－i一定没有被访问，否则再走到j就找到了增广路。而我们取了左部所有未被标记的点，因此这样的边也被覆盖。