可以通过二分求出给定的 $u$ 所在的行。设给定点在第 $n+1$ 行的第 $m+1$ 个位置。

考虑将这个图进行一些转化，容易想到可以转化成这样一个问题：

给定 $m\times n$ 的网格，求从左下角的点走到右上角的点，每次可以向右走、向上走、向右上方走，且不超过从左下角出发的 $45^\circ$ 斜线的方法数。

这是我们比较熟悉的一个问题，但是这个问题可以向右上方走。

考虑转化成不能向右上方走的情况。不妨枚举向右上方走的次数 $i$，那么就需要向右走 $n_0=n-i$ 步，向上走 $m_0=m-i$ 步。这显然是卡特兰数，共有

$$\binom{n_0+m_0}{m_0}-\binom{n_0+m_0}{m_0-1}$$

种走法。而向右上方走的步骤可以插入到任意的位置，由插板法，有 $\dbinom{n+m-i}i$ 种方案。由乘法原理以及加法原理，得答案为

$$\sum_{i=0}^m\binom{n+m-i}i\left[\binom{n+m-2i}{m-i}-\binom{n+m-2i}{m-i-1}\right]. $$

只需预处理阶乘与阶乘的逆元即可。

时间复杂度 $\Theta(\sum\sqrt n)$。