前言

五发罚时害死人！

莫队平衡复杂度差不多得了！

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题意

给你两个长度为 $n$ 的自然数序列，$a$ 和 $b$。

规定在 $[l,r]$ 范围内的平衡操作，是指自由选出一段长度为偶数 $k$ 的整数序列 $pos$，使得 $l\le pos_1<pos_2<\dots<pos_k\le r$，然后令 $pos_1,pos_3,pos_5,pos_7,\dots,pos_{k-1}$ 位置的 $a$ 加一，令 $pos_2,pos_4,pos_6,pos_8,\dots,pos_k$ 位置的 $b$ 加一。

$q$ 次询问，每次询问给你一段区间 $[l,r]$，问你至少做几次该区间内的平衡操作，可以使 $[l,r]$ 间所有位置满足 $a=b$，无解输出 $-1$。询问独立。

数据范围：$2\le n\le10^5$，$1\le q\le10^5$，$0\le a_i,b_i\le10^9$，$1\le l<r\le n$。

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思路

转化题意

记 $A=a-b$，则题意转化为：

给你一个长度为 $n$ 的整数序列 $A$。

规定在 $[l,r]$ 范围内的平衡操作，是指自由选出一段长度为偶数 $k$ 的整数序列 $pos$，使得 $l\le pos_1<pos_2<\dots<pos_k\le r$，然后令 $pos_1,pos_3,pos_5,pos_7,\dots,pos_{k-1}$ 位置的 $A$ 加一，令 $pos_2,pos_4,pos_6,pos_8,\dots,pos_k$ 位置的 $A$ 减一。

$q$ 次询问，每次询问给你一段区间 $[l,r]$，问你至少做几次该区间内的平衡操作，可以使 $[l,r]$ 间所有位置满足 $A=0$，无解输出 $-1$。询问独立。

数据范围：$2\le n\le10^5$，$1\le q\le10^5$，$-10^9\le A_i\le10^9$，$1\le l<r\le n$。

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分析

有了 $A$ 数组还不够，我们依旧需要一个条件来判断是否有解。

I.显然若区间内 $A$ 数组的和不是 $0$，则必然无解。

II.同时，若区间内存在前缀和为正数 $m$ ，则亦无解。

证明：

由每次操作对前缀和的影响一定不减且最多加一可得。

因为序列 $D:\big<0,\dots,0,1,0,\dots,0,-1,0,\dots,0,1,0,\dots,0,-1,0,\dots\big>$ 序列的前缀和序列 $\sum D$ 中每一项不是 $0$ 就是 $1$，由前缀和的线性性即 $\sum(A+D)=\sum A+\sum D$ ，这个 $m$ 必然不减而无法变为 $0$。

除去这两种情况，剩下的情况都容易构造方案，即利用上述论述中操作对前缀和的影响（$\sum D:\big<0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,1,1,0,0,0,0,1,1,1,0,0,\dots\big>$）来构造，构造方案略。

III.不难发现答案即区间内最大的前缀和的相反数，或者说区间内最小前缀和的相反数，即 $-\min\{\sum A\}$，证明由构造方案与证明下界两部分组成，此处略去。

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考虑怎么快速判断。

对情况 I，直接维护全局前缀和数组即可。

对情况 II，等价于区间内最大前缀和为正，这个可以转化成序列上两个前缀和的差，于是就要维护全局前缀和数组，要求查询区间 $\max$，用 ST 表即可。

对情况 III，等价于求区间内最小前缀和，这个也可以转化成序列上两个前缀和的差，于是就要维护全局前缀和数组，要求查询区间 $\min$，用 ST 表即可。

复杂度 $O(n\log n) - O(1)$。

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由于赛前在练习莫队，于是赛场上没有想到 ST 表，胡了一个奇妙的平衡复杂度莫队做法，大致方法类似，就是将全局前缀和数组先离散化再插入一个值域分块里面，反正是个非常谔谔的做法。

复杂度 $O(n\sqrt n)$。

结果拿了 $5$ 发罚时，写了亿年才过（

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Code

给出平衡复杂度莫队版的代码。

// Problem: E. Equilibrium
// Contest: Codeforces - Deltix Round, Summer 2021 (open for everyone, rated, Div. 1 + Div. 2)
// URL: https://codeforces.com/contest/1556/problem/E
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 2000 ms

#include <algorithm>
#include <math.h>
#include <set>
#include <map>
#include <stdio.h>
typedef long long llt;
typedef unsigned uint;typedef unsigned long long ullt;
typedef bool bol;typedef char chr;typedef void voi;
typedef double dbl;
template<typename T>bol _max(T&a,T b){return(a<b)?a=b,true:false;}
template<typename T>bol _min(T&a,T b){return(b<a)?a=b,true:false;}
template<typename T>T power(T base,T index,T mod){return((index<=1)?(index?base:1):(power(base*base%mod,index>>1,mod)*power(base,index&1,mod)))%mod;}
template<typename T>T lowbit(T n){return n&-n;}
template<typename T>T gcd(T a,T b){return b?gcd(b,a%b):a;}
template<typename T>T lcm(T a,T b){return(a!=0||b!=0)?a/gcd(a,b)*b:(T)0;}
template<typename T>T exgcd(T a,T b,T&x,T&y){if(!b)return y=0,x=1,a;T ans=exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;return ans;}
template<const uint Sqrt=1500>
struct Block
{
	uint A[Sqrt*Sqrt],B[Sqrt];
	Block()
	{
		for(uint i=0;i<Sqrt*Sqrt;i++)A[i]=0;
		for(uint i=0;i<Sqrt;i++)B[i]=0;
	}
	voi insert(uint v){A[v]++,B[v/Sqrt]++;}
	voi erase(uint v){A[v]--,B[v/Sqrt]--;}
	uint findmin()
	{
		for(uint i=0;i<Sqrt;i++)if(B[i])
			for(uint j=0;j<Sqrt;j++)if(A[i*Sqrt+j])return i*Sqrt+j;
		return-1;
	}
	uint findmax()
	{
		for(uint i=Sqrt-1;~i;i--)if(B[i])
			for(uint j=Sqrt-1;~j;j--)if(A[i*Sqrt+j])return i*Sqrt+j;
		return-1;
	}
};
Block<>B;
uint Siz;
struct ques{uint l,r,t;llt ans;};
bol cmp1(const ques&a,const ques&b){return(a.l/Siz==b.l/Siz)?(((a.l/Siz)&1)?b.r<a.r:(a.r<b.r)):(a.l<b.l);}
bol cmp2(const ques&a,const ques&b){return a.t<b.t;}
llt A[100005],_S[100005],User[100005];
uint S[100005];
ques Q[100005];
uint l,r;
std::set<llt>Set;
std::map<llt,uint>Map;
llt sgn(llt v){return(v>0)?1:(v?-1:0);}
voi insert(uint m){B.insert(S[m+1]);}
voi erase(uint m){B.erase(S[m+1]);}
int main()
{
	uint n,m;llt v;
	scanf("%u%u",&n,&m),Siz=sqrt(n);
	for(uint i=0;i<n;i++)scanf("%lld",A+i);
	for(uint i=0;i<n;i++)scanf("%lld",&v),Set.insert(_S[i+1]=_S[i]+(A[i]-=v));
	Set.insert(0);
	while(!Set.empty())User[Map[*Set.rbegin()]=Set.size()]=*Set.rbegin(),Set.erase(*Set.rbegin());
	for(uint i=0;i<=n;i++)S[i]=Map[_S[i]];
	for(uint i=0;i<m;i++)scanf("%u%u",&Q[i].l,&Q[i].r),Q[i].l--,Q[i].t=i;
	std::sort(Q,Q+m,cmp1),l=r=0;
	for(uint i=0;i<m;i++)
	{
		ques&qs=Q[i];
		while(l>qs.l)insert(l-1),l--;
		while(r<qs.r)insert(r),r++;
		while(l<qs.l)erase(l),l++;
		while(r>qs.r)erase(r-1),r--;
		qs.ans=(B.findmax()==S[l]&&S[r]==S[l])?User[S[l]]-User[B.findmin()]:-1;
	}
	std::sort(Q,Q+m,cmp2);
	for(uint i=0;i<m;i++)printf("%lld\n",Q[i].ans);
	return 0;
}