设某种颜色耗了恰好 $x$ 行，$y$ 列，且耗满的方案数为 $f_{x,y}$。

记在钦定的 $x$ 行，$y$ 列内放置的方案数 $g_{x,y}=\binom{xy}c$。

$$g_{n,m}=\sum_{x,y}\binom nx\binom myf_{x,y}$$

做二维二项式反演，

$$f_{n,m}=\sum_{x,y}(-1)^{(n-x)+(m-y)}\binom nx\binom myg_{x,y} \\=\sum_{x,y}(-1)^{(n-x)+(m-y)}\binom nx\binom my\binom{xy}c $$

构造二元生成函数，

$$f_c(z,u)=\sum_n\sum_m{z^n\over n!}{u^m\over m!}\sum_{a,b}(-1)^{(n-a)+(m-b)}\binom na\binom mb\binom{ab}c $$$$ans=[{z^n\over n!}{u^m\over m!}]e^{z+u}\prod_kf_{c_k} $$

解完。