为简便，以下 $N,K\rightarrow n,m$。

交集包含钦定的 $k$ 个元素的方案数 $f_k$。

交集恰为钦定的 $k$ 个元素的方案数 $g_k$。

$$f_m=\sum_{k\ge m}\binom{n-m}{n-k}g_k$$ $$g_m=\sum_{k\ge m}(-1)^{k-m}\binom{n-m}{n-k}f_k$$

又

$$f_k=2^{2^{n-k}}-1$$

故

$$ans=\binom nm\sum_{k\ge m}(-1)^{k-m}\binom{n-m}{n-k}(2^{2^{n-k}}-1) $$