今天课间无意中发现了一个规律：

$\sqrt{1}=1,\sqrt{2}\approx 1.41421356237,\sqrt{3}\approx 1.73205080756,\sqrt{4}=2,\sqrt{5}\approx 2.23606797749$···

似乎，当$n$不为完全平方数时，$\sqrt{n}$为无理数（$n$为整数）.

但是光说肯定不行，得证明.怎么证呢？我联想到了反证法.

设$\sqrt{n}=\frac{a}{b}(a,b$互质且为整数$)$，则有$n=\frac{a^2}{b^2}$，即$nb^2=a^2$，$\therefore a^2$为$n$的倍数.

分类讨论.

$1)$.$n$为质数.

$\because n$为质数，$a^2$为$n$的倍数

$\therefore a$为$n$的倍数

$\therefore a^2$为$n^2$的倍数

$\therefore b^2$为$n$的倍数

$\therefore b$为$n$的倍数

$\therefore a,b$有公因数$n$，题设不成立.

$\therefore$当$n$为质数时，$\sqrt{n}$为无理数.

$2)$.$n$为合数.

对$n$进行质因数分解，将$n$表示成$\sqrt{p_{1}}·\sqrt{p_{2}}···\sqrt{p_{m}}$的形式，其中$p_{i}$为质数.

套用$n$为质数时的结论，$\sqrt{p_{1}},\sqrt{p_{2}},···\sqrt{p_{m}}$为无理数.

$\therefore n$可表示成若干个无理数相乘的形式.

$\therefore n$为无理数

$\therefore$对于任意整数$n$，若$n$不为完全平方数，则$\sqrt{n}$为无理数.

$2023/10/21$完.

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