在写随笔#2023/9/16时，我遇到了一个棘手的问题，因而决定为这个问题再写一篇博客:

已知直线$AB,CD$，$AB\bot CD$，现知$AB$的解析式为$y=kx+b$，求CD的解析式。

怎么做呢？

设点$A(x_{1},k*x_{1}+b),B(x_2,k*x_{2}+b)$，记$AB,CD$的交点为$P$。在$CP$上截取$PE=PB$，连接$CB$。

设点$P(x_{2}-temp_{1},k*(x_{2}+temp_{1})+b)$，过点$E$做$l_{1}\mathop{//}y$轴，过点$B$做$l_{2}\mathop{//}y$轴，过点$P$做$l_{3}\mathop{//}x$轴，记$l_{1}、l_{3}$交点为$F$，$l_{2}、l_{3}$交点为$G$。

由$ASA$或$AAS$可得，$\triangle EFP\simeq\triangle PGB$.

$\therefore EF=PG=temp_{1},FP=GB=k*temp_{1}$

$\therefore E(x_{2}-(k+1)temp_{1},k*x_{2}+b-(k-1)temp_{1})$

在$PD$上截取$PH=PB$，同理可得:$H(x_{2}+(k-1)temp_{1},k*x_{2}+b-(k+1)temp_{1})$

设$CD$解析式为$y=k_{1}x+b_{1}$，

则有$\left\{\begin{aligned}k_{1}[x_{2}-(k+1)temp_{1}]+b_{1}=y_{2}-(k-1)temp_{1} \\k_{1}[x_{2}+(k-1)temp_{1}]+b_{1}=y_{2}-(k+1)temp_{1}\end{aligned}\right.$，

解得$k_{1}=-\frac{1}{k}$，此时我们发现$b_{1}$的值与$temp_{1}$有关，无法求出.

这是为什么呢？$AB\bot CD$只描述了$AB$相对于$CD$的位置关系，而并没有描述$AB$与$x$轴、$y$轴的关系，过$AB$上任意一点都能做出一条符合的$CD$，故而我们无法求出$b_{1}$。怎么办呢？

改题目

改法$1$：CD为正比例函数或CD经过原点。此时，$b_{1}=0$，$CD$解析式为$y=-\frac{x}{k}$.

改法2：CD经过点P(x3,y3)，此时，$b_{1}=\frac{x_{3}}{k}+y_{3}$，$CD$解析式为$y=\frac{x_{3}-x}{k}+y_{3}$.

改完题目后的过程就不写了，太简单.

$2023/9/23$完.

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