luogu#P4727. [HNOI2009] 图的同构计数
[HNOI2009] 图的同构计数
题目背景
当学生们遇到某个难题时经常会说“这怎么做,这不是 NP 问题吗?”、“这个只有搜了,这己经被证明是 NP 问题了”。但是,你应该淸楚,大多数人此时所说的 NP 问题其实都是指 NPC 问题。很多人没有真正掌握 NP 问题和 NPC 问题这两个基本概念。其实 NP 问题并不是那种“只有搜才行”的问题, NPC 问题才是。
很久以前就有一个古老的传说:有―个著名的问题,即 P 是否等于 NP 的问题,传说中谁要是证明或者证伪了这个命题,他将获得幸福。这里 P 是指能在多项式时间里求解的问题的集合。而 NP 是指可在多项式时间里验证的问题的集合。显然 P 是 NP 的子集,因为能在多项式时间里求解的问题,必定可在多项式时间里验证。
到目前为止还没有人因这个命题得到幸福。但是,有一个总的趋势,也就是人们普遍认为, 不成立,即,多数人相信,至少存在一个不可能有多项式时间复杂度的求解算法的 NP问题。人们如此坚信 是有原因的,因为在研究NP问题的过程中找出了一类非常特殊的 NP 问题叫做 NP-完全问题,也就是所谓的 NPC 问题。正是因为存在 NPC 问题,才使人们相信 。
在提出 NPC 的概念之后,绝大多数“自然”的难题最后都被证明是NPC问题,只有三个例外,它们分别是:
- 线形规划问题;
- 图同构问题;
- 素数判定问题与大数分解问题。
题目描述
小雪在了解到以上情况后,自认为直接挑战终极难题还有不少困难,于是决定先从简单的问题做起,具体来说,他对图同构问题产生了浓厚的兴趣。 图与 图被认为是同构的是指: 图的顶点经过一定的重新标号以后, 图的顶点集和边集要完全与 图一一对应。
小雪现在专注于如何判断两个图是否同构,同时他还想知道两两互不同构的含 个点的图有多少种。众所周知含 个点的简单图最多有 条边,这样含 个点的图有 种可能的情况。显然这些图中有很多图是同构的,小雪想知道的便是:若同构的图算成一种,则有多少种不同的图。他把这个任务丢给了你,在他想出来之前快点解决吧!
输入格式
输入包含一个非负整数 ,表示图的顶点数,且 。
输出格式
输出包含一个整数,表示含 个点的图在同构意义下不同构的图的数目。因为答案可能很大,所以输出的最终答案是 的结果(是一个素数)。
1
1
2
2
3
4
5
34
9
493
提示
对于 的数据,。
对于 的数据,。