loj#P3042. 「ZJOI2019」麻将

「ZJOI2019」麻将

题目描述

九条可怜是一个热爱打麻将的女孩子。因此她出了一道和麻将相关的题目,希望这题不会让你对麻将的热爱消失殆尽。

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今天,可怜想要打麻将,但是她的朋友们都去下自走棋了,因此可怜只能自己一个人打。可怜找了一套特殊的麻将,它有 n(n5)n(n \ge 5) 种不同的牌,大小分别为 11nn,每种牌都有 44 张。

定义面子为三张大小相同或者大小相邻的麻将牌,即大小形如 i,i,i(1in)i, i, i(1 \le i \le n) 或者 i,i+1,i+2(1in2)i, i + 1, i + 2(1 \le i \le n − 2)。定义对子为两张大小相同的麻将牌,即大小形如 i,i(1in)i, i(1 \le i \le n)

定义一个麻将牌集合 SS 是胡的当且仅当它的大小为 1414 且满足下面两个条件中的至少一个:

  • SS 可以被划分成五个集合 S1S_1S5S_5。其中 S1S_1 为对子,S2S_2S5S_5 为面子。
  • SS 可以被划分成七个集合 S1S_1S7S_7,它们都是对子,且对应的大小两两不同

举例来说,下列集合都是胡的(这儿只标记了大小):

  • {1,1,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,9,9}\{1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 9\}
  • {1,1,2,2,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8}\{1, 1, 2, 2, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8\}
  • {1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7}\{1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7\}

而下列集合都不是胡的:

  • {1,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,9,9}\{1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 9\}
  • {1,1,1,1,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8}\{1, 1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8\}
  • {1,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,9,9,11}\{1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 9, 11\}

可怜先摸出了 1313 张牌,并把剩下的 4n134n − 13 张牌随机打乱。打乱是等概率随机的,即所有 (4n13)!(4n − 13)! 种排列都等概率出现。

对于一个排列 PP,可怜定义 SiS_i 为可怜事先摸出的 1313 张牌加上 PP 中的前 ii 张牌构成的集合,定义 PP 的权值为最小的 ii 满足 SiS_i 存在一个子集是胡的。如果你对麻将比较熟悉,不难发现 PP 的权值就是理论上的最早胡牌巡目数。注意到 n5n \ge 5 的时候,S4n13S_{4n−13} 总是存在胡的子集的,因此 PP 的权值是良定义的。

现在可怜想要训练自己的牌效,因此她希望你能先计算出 PP 的权值的期望是多少。

输入格式

第一行输入一个整数 nn,表示这副特殊的麻将牌中的大小种类数。

接下来输入 1313 行每行两个整数 w,t(1wn,1t4)w, t(1 \le w \le n, 1 \le t \le 4),表示可怜最开始摸出的第 ii 张牌是大小为 ww 的第 tt 张牌,保证 (w,t)(w, t) 二元组两两不同。

输出格式

输出一行一个整数,表示答案 mod998244353\bmod 998244353 的值。即如果答案的最简分数表示为 xy(x0,y1,gcd(x,y)=1)\frac{x}{y}(x \ge 0, y \ge 1, \gcd(x, y) = 1),你需要输出 x×y1mod998244353x \times y^{−1} \bmod 998244353

9
1 1
1 2
1 3
2 1
3 1
4 1
5 1
6 1
7 1
8 1
9 1
9 2
9 3
1

数据范围与提示

对于 20%20\% 的数据,n=5n = 5
对于 50%50\% 的数据,n13n \le 13
对于另外 20%20\% 的数据,n100,wi=i,ti=1n \le 100, w_i = i, t_i = 1
对于另外 20%20\% 的数据,$n \le 100, w_i = \large\lceil\normalsize \frac{i}{4} \large\rceil\normalsize, t_i = i \bmod 4 + 1$。
对于 100%100\% 的数据,5n1005 \le n \le 100