28 条题解

  • 10
    @ 2022-3-16 16:29:12

    可以分治，将 ana^n 变成 afracn2×afracn2a^{frac{n}{2}}\times a^{frac{n}{2}}，但如果此时 nn 是奇数，则多乘一个 aa。

    #include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll a,b,p=1e9+7;
ll qpow(ll a,ll b,ll p){
	ll res=1,tmp=a;
	while(b){
		if(b&1)res=(res%p*tmp%p)%p;
		tmp=(tmp*tmp)%p;
		b>>=1;
	}
	return res;
}
int main(){
	cin>>a>>b>>p;
	cout<<qpow(a,b,p)<<endl;
	return 0;
}
    • 4
      @ 2021-9-14 20:46:51

      知识点：快速幂

      递归公式（分治思想）：

      $x^y=(x^{\lfloor\frac{y}{2}\rfloor})^2\cdot x^{y-2\cdot{\lfloor\frac{y}{2}\rfloor}}$，而终止条件为 y=0y=0，此时 xy=1x^y=1。

      即：

      $x^y=\begin{cases} (x^{\frac{y}{2}})^2\qquad(2\mid y)\\ (x^{\frac{y-1}{2}})^2\cdot x(2\nmid y)\\ 1\qquad\qquad(y=0) \end{cases}$

      代码如下：

      int qpow(int a,int b){//即a^b
    if(b==0) return 1;//终止条件
    else if(b%2==0){
        int k=qpow(a,b/2);
        return k*k%MOD;
    }
    else{
        int k=qpow(a,b/2);
        return k*k%MOD*a%MOD;
    }
    //分治思想
}

      我曾经写过一个及其精彩的错误代码：

      int qpow(int a,int b){//即a^b
    if(b==0) return 1;//终止条件
    else if(b%2==0){
        return qpow(a,b/2)*qpow(a,b/2)%MOD;
    }
    else{
        return qpow(a,b/2)*qpow(a,b/2)%MOD*a%MOD;
    }
    //分治思想
}

      本代码有什么问题？（设问的修辞手法）

      答：这里。

      return qpow(a,b/2)*qpow(a,b/2)%MOD;

      以及：

      return qpow(a,b/2)*qpow(a,b/2)%MOD*a%MOD;

      这里相当于计算了两次qpow(a,b/2)。

      所以需要乘 bb 次 aa。

      那么此“快速”幂的复杂度为 O(b)O(b)。

      真正的快速幂的复杂度约为 O(log⁡b)O(\log{b})

      用上面的那个即可通关。

      • 2
        @ 2022-7-21 21:19:08 
        #include<iostream>
using namespace std;
int main (){
    int a, b, p;
    int ans = 1;
    scanf("%d%d%d", &a, &b, &p);
    while(b){
        if(b & 1)
            ans = (long long) ans * a % p;
        a = (long long) a * a % p;
        b >>= 1;
    }
    printf("%d", ans % p);
    return 0;
}
        • 2
          @ 2021-11-30 12:48:17

          代码自认为十分好懂

          #include<cstdio>
using namespace std;
#define ll long long
ll cal(ll a, ll b, ll p)
{
    ll ans = 1 % p;
    for (; b; b >>= 1)//个人码风原因，也可使用while循环额外加b >>= 1
    {
        if (b & 1)
            ans = ans * a % p;//及时取模防止爆掉
        a = a * a % p;//及时取模防止爆掉
    }
    return ans;
}
int main()
{
	ll a, b, p;
	scanf("%lld %lld %lld", &a, &b, &p);
	printf("%lld", cal(a, b, p));
    return 0;
}
          • 2
            @ 2021-10-6 10:36:04

            快速幂 - OI Wiki (oi-wiki.org)

            #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
  
int main()
{
    unsigned long long a,b,mode ;
    cin>>a>>b>>mode;
    int sum=1;
    a =a%mode;
    while(b>0)
	{
        if (b%2==1)
		{
			sum =(sum*a)%mode;
		}
        b /= 2;
        a = (a * a) % mode;

   }
cout<<sum;
}
            • 2
              @ 2021-10-3 13:16:15

              快速幂的基本原理是简单的：欲计算 aba^b 的值，只需计算 ab/2a^{b/2} 的值即可。

              在数论题当中，时常涉及到乘法的取模运算。这里用到一个原理：

              $$(a\times b)\,\bmod p= [(a\,\bmod p)\times(b\,\bmod p)]\,\bmod p $$
              int solve(int a,int b){
	if(b==0) return 1;
	if(b==1) return a%p;
	if(b%2==0){
		int tmp = solve(a,b>>1); //必须预存tmp的值，否则程序的效率与普通乘幂无异
		return (tmp*tmp)%p;
	}else{
		int tmp = solve(a,b>>1);
		return (tmp*tmp*(solve(a,1))%p)%p;
	}
}
              • 1
                @ 2023-11-11 18:06:10

                板子题，直接放代码：

                #include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int a,b,m;
int power(int a,int b,int m){
    long long ans=1;
    while(b){
        if(b&1){
            ans=ans*a%m;
        }
        a=a*a%m;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
signed main(){
   cin>>a>>b>>m;
   cout<<power(a,b,m);
}
                • 1
                  @ 2023-10-5 10:40:34 
                  #include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll a,b,p=1e9+7;
ll qpow(ll a,ll b,ll p){
	ll res=1,tmp=a;
	while(b){
		if(b&1)res=(res%p*tmp%p)%p;
		tmp=(tmp*tmp)%p;
		b>>=1;
	}
	return res;
}
int main(){
	cin>>a>>b>>p;
	cout<<qpow(a,b,p)<<endl;
	return 0;
}
                  • 1
                    @ 2023-3-25 17:32:39 
                    #include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll a,b,p=1e9+7;
ll qpow(ll a,ll b,ll p){
	ll res=1,tmp=a;
	while(b){
		if(b&1)res=(res%p*tmp%p)%p;
		tmp=(tmp*tmp)%p;
		b>>=1;
	}
	return res;
}
int main(){
	cin>>a>>b>>p;
	cout<<qpow(a,b,p)<<endl;
	return 0;
}
                    • 1
                      @ 2022-10-15 20:49:49

                      题目大意

                      给出 aa, bb, pp。求 ab mod pa^b\bmod p。

                      做法

                      注意到 b≤231b\leq 2^{31} ,所以我们最好可以有一个O(logn)\mathit{O(logn)}的算法来求快速幂。那么，分治，它来了。

                      详细介绍

                      接下来，就是思考如何用分治解决这个题目。当我们求 ab mod pa^b\bmod p 时，我们可以把原式子分为两个 ab/2 mod pa^{b/2}\bmod p 的积, 如果 b≡1(mod2)b\equiv1\pmod{2} ,还得乘上一个 aa 才能等于 ab mod pa^b\bmod p 。这样递归下去，我们就能实现分而治之了。

                      代码

                      #include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int x,y,p;
int pw(int x,int y,int p){
	int re=1;
	while(y){
		if(y&1) re=re*x%p;//y&1是判y的奇偶性
		x=x*x%p;
		y>>=1;//等同于y/=2
	}
	return re;
} 
signed main(){
	cin>>x>>y>>p;
	cout<<pw(x,y,p)<<endl;
	return 0;
}

                      完结，撒花！！！

                      • 1
                        @ 2022-6-19 12:40:23

                        此题解是 JuliaRoadmap 项目的一部分

                        题解里很多人用递归的方法，这里不再阐述。注意到可以对bb 进行二进制拆分，例如对于12=(1100)212=(1100)_2，只需从左到右循环即可

                        题目中限定 b<231b<2^{31}，使用以下代码

                        function main()
    a=parse(Int, readuntil(stdin,' '))
    b=parse(Int, readuntil(stdin,' '))
    p=parse(Int, readline())
    a%=p
    ans=1
    for i in 31:-1:0
        sign=(b>>i)&1 # 位运算技巧
        if sign==0
            ans=ans*ans%p
        else
            ans=(ans*ans%p)*a%p
        end
    end
    print(ans)
end
main()

                        评测结果492~614ms

                        • 0
                          @ 2024-8-11 19:54:10

                          #include<bits/stdc++.h> using namespace std; long long a,b,p=1e9+7; long long qpow(long long a,long long b,long long p) { long long res=1,tmp=a; while(b) { if(b&1)res=(res%ptmp%p)%p; tmp=(tmptmp)%p; b/=2; } return res; } int main() { cin>>a>>b>>p; cout<<qpow(a,b,p)<<endl; return 0; }

                          • 0
                            @ 2024-6-26 20:38:46

                            #include<bits/stdc++.h> #define ll long long using namespace std; ll a,b,p=1e9+7; ll qpow(ll a,ll b,ll p){ ll res=1,tmp=a; while(b){ if(b&1)res=(res%ptmp%p)%p; tmp=(tmptmp)%p; b>>=1; } return res; } int main(){ cin>>a>>b>>p; cout<<qpow(a,b,p)<<endl; return 0; }

                            • 0
                              @ 2024-3-13 14:26:57 
                              #include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define int __int128
int read()
{
    int x{},w{1};char c= getchar();
    while(c>'9' || c<'0') {if(c == '-') w=-1;c = getchar();}
    while(c<='9' && c>='0') x = (x<<1)+(x<<3)+c-'0',c = getchar();
    return w * x;
}
void write(int x)
{
    if(x < 0) x = -x,putchar('-');
    if(x>9) write(x/10);putchar(x%10+'0');
}
void writeln(int x)
{
    write(x);putchar(10);
}
const int N = 5e5+5;
int f[N],d[N];
int siz[N],son[N];
struct EDGE
{
    int nxt,to;
}e[N<<1];
int ecnt{},head[N];
void add(int u,int v)
{
    e[++ecnt].to = v;
    e[ecnt].nxt = head[u];
    head[u] = ecnt;
}
void dfs1(int u,int fa)
{
    siz[u] = 1,f[u] = fa,d[u] = d[fa]+1;
    for(int i{head[u]};i;i = e[i].nxt)
    {
        int v = e[i].to;
        if(v == fa) continue;
        dfs1(v,u);
        siz[u] += siz[v];
        if(siz[v] > siz[son[u]]) son[u] = v;
    }
}
int t[N],dfn[N],a[N],o[N],cnt{};
void dfs2(int u,int top)
{
    dfn[u] = ++cnt;
    a[dfn[u]]=o[u];
    t[u] = top;
    if(!son[u]) return;
    dfs2(son[u],top);
    for(int i{head[u]};i;i = e[i].nxt)
    {
        int v = e[i].to;
        if(v == f[u] || v == son[u]) continue;
        dfs2(v,v);
    }
}
int lca(int u,int v)
{
    while(t[u] != t[v])
    {
        if(d[t[u]] < d[t[v]]) u^=v^=u^=v;
        u = f[t[u]];
    }
    return d[u]<d[v] ? u : v;
}
int qp(int a,int b,int p)
{
    int res{1};
    while(b)
    {
        if(b & 1) res = res * a % p;
        a = a * a % p;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}
signed main()
{
    int a = read(),b = read(),p = read();
    writeln(qp(a,b,p));
}
                              • 0
                                @ 2024-2-21 9:55:37 
                                #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main()
{
    ll a,b,p;
    cin>>a>>b>>p;
    ll ans=1%p;//这里注意modp，否则p为1过不了
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=ans*a%p;
        a=a*a%p;
        b=b>>1;
    }
    cout<<ans;
}
                                • 0
                                  @ 2023-9-17 22:50:10

                                  自认为代码很通俗

                                  首先，直接算是肯定不行的，我们要一步一步来

                                  相关知识请看 OI Wiki

                                  #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
    long long b,p,k;
    cin >> b >> p >> k;
    long long ans = 1;
    while (p != 0){
        if(p % 2 !=0)ans = ans * b % k;
        p /= 2;
        b = b * b % k;
    }
    cout << ans;
}
                                  • 0
                                    @ 2023-8-12 15:12:01

                                    核心代码一行的快速幂：

                                    #include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll a, b, p;
ll power (ll a, ll b, ll p) {
	return b == 0? 1: (b & 1? a: 1) * power (a * a % p, b >> 1, p) % p;
}
int main () {
    scanf ("%lld%lld%lld", &a, &b, &p);
    printf ("%lld", power (a, b, p));
    return 0;
}

                                    压行（164B）！

                                    #import<iostream>
typedef long long L;L a,b,p;L P(L a,L b,L p){return b?(b&1?a:1)*P(a*a%p,b/2,p)%p:1;}int main(){std::cin>>a>>b>>p;std::cout<<P(a,b,p);return 0;}

                                    顺便找了一个不递归的压了压（182B）：

                                    #import<iostream>
typedef long long L;L a,b,p;L P(L a,L b,L p){L S=1;while(b){if(b&1)S=S*a%p;a=a*a%p;b/=2;}return ans;}int main(){std::cin>>a>>b>>p;std::cout<<P(a,b,p);return 0;}

                                    可以发现，前者代码短一点。

                                    （喂喂我这个大码量人为什么要玩 Code Golf 啊

                                    • 0
                                      @ 2023-8-11 15:37:15

                                      Hydro H1032【模板】快速幂 & 洛谷 P1226 题解

                                      #include<iostream>
using namespace std;
long long a,b,p,q,w;
int loop(long long x,long long y)
{
    if(y==0)
    {
        return 1;
    }
    long long res=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)
        {
            res=res*x%p;  /*需要%*/
        } 
        x=x*x%p;  /*需要%*/
//      cout<<x<<endl;
        y>>=1;
    } 
    return res;
}

int main()
{
    cin>>a>>b>>p;
    q=loop(a,b);
    w=q % p;
    cout<<w<<endl;
}
                                      • 0
                                        @ 2023-7-11 8:44:50

                                        整点最短解。以下是利用 python3 完成的一个很短的写法（37 B）：

                                        print(pow(*map(int,input().split())))
                                        • @ 2023-8-27 9:30:46

                                          Python自带高精度，是一个简单的语言

                                      • 0
                                        @ 2023-1-21 12:53:38

                                        其实很简单。。。

                                        #include<iostream>
using namespace std;
#define int long long
int a,b,p;
int power(int a,int b,int p){
	int ans=1;
	while(b){
		if(b&1==1)ans=ans*a%p;
		a=a*a%p;
		b>>=1;
	}return ans;
}
signed main(){
	cin>>a>>b>>p;
	cout<<power(a,b,p);return 0;
}

                                        【模板】快速幂

                                        信息

                                        ID
                                        171
                                        时间
                                        1000ms
                                        内存
                                        256MiB
                                        难度
                                        2
                                        标签
                                        递交数
                                        1240
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