题意

给定字符串 $s (|s| \le 10^6)$，找出它的最大回文长度。

分析

下面令 $n=|s|$。

朴素

枚举每一个子串，判断它是否为回文串即可，时间复杂度 $O(n^3)$。

这里就不给出代码实现了。

哈希

前置知识：字符串哈希 - OI Wiki (oi-wiki.org)

首先预处理出字符串的哈希前缀和哈希后缀，方便快速 $O(1)$ 比较两个子串是否相等。

然后枚举回文串的对称轴，逐步向左右扩张，比较前后缀是否相等即可。

时间复杂度 $O(n^2)$。

但是注意到 $|s| \le 10^6$，所以这一定是不可过的，考虑优化。

运用你的人类智慧可以发现，回文串的长度是具有单调性的。

比如说 $\texttt{zroabcbaorz}$，是一个回文串，那么 $\texttt{abcba}$ 也是一个回文串。

这样不就可以直接枚举对称轴然后二分答案长度就可以了吗？

代码：

//the code is from chenjh
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define MAXN 1000005
using namespace std;
char s[MAXN];
int n;
const int p=103;//选择一个“较大的”且远离 2 的整数次幂的质数可以避免哈希冲突导致错误判断。
unsigned long long p1[MAXN],p2[MAXN],pn[MAXN];//前缀哈希、后缀哈希、p 的 n 次幂。
bool f(int pos,int x,bool op){
	return p1[pos]-p1[pos-x]*pn[x]==p2[pos+op]-p2[pos+x+op]*pn[x];
}//判断以 pos 为对称轴，半径为 x 的字符串是否为回文串。
int main(){
	pn[0]=1;
	for(int i=1;i<MAXN;i++)pn[i]=pn[i-1]*p;//预处理 p 的 n 次幂。
	for(int cnt=1;cin>>(s+1) && strcmp(s+1,"END");++cnt){
		n=strlen(s+1);
		for(int i=1;i<=n;i++) p1[i]=p1[i-1]*p+s[i];//使用字符串 BKDR 算法，预处理前缀哈希。
		p2[n+1]=0;
		for(int i=n;i;--i) p2[i]=p2[i+1]*p+s[i];//预处理后缀哈希值。
		int ans=0;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			int l,r;
			if(i<n && s[i]==s[i+1]){//如果相邻两个字符相等，即回文串长度为偶数。
				l=1,r=min(i,n-i);//进行二分长度。
				while(l<r){
					int mid=(l+r+1)>>1;
					if(f(i,mid,1)) l=mid;
					else r=mid-1;
				}
				ans=max(ans,l<<1);
			}
			l=1,r=min(i,n-i+1);//以第 i 个字符为对称轴，即回文串长度为奇数。
			while(l<r){
				int mid=(l+r+1)>>1;
				if(f(i,mid,0)) l=mid;
				else r=mid-1;
			}
			ans=max(ans,(l<<1)-1);
		}
		printf("Case %d: %d\n",cnt,ans);
	}
	return 0;
}

时间复杂度 $O(n \log n)$，十分优秀了！

但是……这个怎么可能足够呢？！

Manacher

前置知识：Manacher - OI Wiki (oi-wiki.org)

该算法由 Glenn K. Manacher 在 1975 年提出。

其实这个问题可以使用后缀数组和快速 LCA 该问题可在 $O(n)$ 时间内解决。

但是这里描述的算法 压倒性 的简单，并且在时间和空间复杂度上具有更小的常数。

鉴于 OI Wiki 介绍的十分详细，这里就不过多进行阐述。

为了方便处理，我加入了 $\texttt{\#}$ 来表示空字符。

在字符串开头我加入了 $\texttt{\$}$ 来防止数组越界。

剩下的就十分简单了。

代码：

//the code is from chenjh
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define MAXN 1000005
char s[MAXN],t[MAXN<<1];
int p[MAXN<<1];//定义 p[i] 为为字符 t[i] 为中心的最长回文子串的比南京。
void manacher(int len){
	int l=0;
	t[l++]='$',t[l++]='#';//加入特殊字符 '$' 和 '#'。
	for(int i=0;i<len;i++) t[l++]=s[i],t[l++]='#';
	t[l]=0;
	memset(p,0,sizeof p);//多测不清空，爆零两行泪！
	for(int i=0,r=0,c=0;i<l;i++){
		int &P=p[i];
		P=r>i?std::min(p[(c<<1)-i],r-i):1;
		for(;t[i+P]==t[i-P];++P);
		if(i+P>r) r=i+P,c=i;
	}
}
int main(){
	for(int c=1;~scanf("%s",s)&&strcmp(s,"END");++c){
		int len=strlen(s),ans=0;manacher(len);
		for(int i=0,mi=(len+1)<<1;i<mi;i++) ans=std::max(ans,p[i]-1);//找到最大回文长度。
		printf("Case %d: %d\n",c,ans);
	}
	return 0;
}