#P8994. [北大集训 2021] 经典游戏

[北大集训 2021] 经典游戏

题目背景

CTT2021 D4T2

题目描述

某天,CK 觉得很无聊,于是决定玩一个经典小游戏:

在一棵有 nn 个结点的有根树上,标号为 ii 的节点上有 aia_i 个棋子。游戏时玩家轮流操作,每次可以将任意一个节点 uu 上的一个棋子放置到任意一个点 vU(u)v \in U(u)上,其中 U(u)=subtree{u}{u}U(u)=subtree\{u\}\setminus\{u\} ,表示 uu 的子树内(不包含 uu 本身)的点组成的集合。不能进行操作者失败。

CK 作为 P**T** 的在读学生,这种一眼就能找出必胜策略的游戏实在是索然无味,于是两人觉得,每个人给自己一个特殊能力可能会比较有趣:

C 在开始游戏之前,可以选择将当前树的树根 RR 换到与 RR 相邻的任意一个点 RR^{\prime} 上。定义两个点相邻当且仅当这两个点有边直接相连。

K 在开始游戏之前,必须选择树上的一个节点,在上面加上一颗棋子。

CK 决定玩 mm 局游戏。每局游戏的流程如下:

  1. 游戏开始前,CK 会商量好,先在标号为 xx 的节点上放上一个棋子,然后将树根设为 yy
  2. 之后 C 可以选择是否发动特殊能力,C 决策完之后 K 可以选择是否发动特殊能力。
  3. 特殊能力的决策结束后,会在这棵树上进行一局 C 先手、K 后手的游戏。游戏完成后会将树上棋子的状态还原到流程 1 结束后的状态

C 觉得这个游戏可以出成一个简单题,于是他决定考考你:C 在每局游戏的第二步的时候,有多少种决策方式使得不管 K 如何进行特殊能力的操作,开始游戏时都存在必胜策略?两种决策方式不同,当且仅当两种决策更换的树根 RR^{\prime} 不同,或者两者中仅有一个没有发动特殊能力

输入格式

第一行包括一个整数,表示该测试点所在的子任务的分数。你可以使用这个信息判断该测试点满足的特殊性质。特别的,下发样例中此行使用 00 代替。

第二行包含两个用空格隔开的正整数 n,mn, m,表示树的节点数目以及游戏的轮数。树上的节点从 11nn 编号。

接下来 n1n-1 行,每行包含两个用空格隔开的正整数 ui,viu_i,v_i,满足 1ui,vin1 \le u_i,v_i \le n,表示编号为 uiu_iviv_i 的节点之间有边直接相连。

接下来一行包含 nn 个用空格隔开的整数 a1,a2,,ana_1,a_2,\ldots,a_n,满足 0a1,a2,,an1090 \leq a_1,a_2,\ldots,a_n \leq 10^9

接下来 mm 行,每行包含两个用空格隔开的正整数 x,yx, y 描述一局游戏,满足 1x,yn1 \le x,y \le n

输出格式

你需要输出 mm 行,其中第 ii 行应当包含一个非负整数 xx 表示第 ii 局游戏中,C 存在多少种使用特殊能力的决策方案,使得 C 在这局游戏中存在必胜策略。注意,不使用特殊能力也是一种可能可行的决策方案。

0
5 2
1 2
1 3
2 4
2 5
1 0 1 0 1
2 2
4 4
2
1

0
10 10
6 3
7 4
8 2
2 1
9 1
1 3
3 4
4 5
5 10
0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 
8 3
2 3
7 10
7 3
6 7
8 5
9 8
2 10
5 4
3 9

1
1
0
1
1
1
0
0
2
1

提示

子任务分数 1n,m1\le n,m\le max{a1,a2,,an}\max\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\le 特殊性质
1616 55 11
1515 300300
1414 50005000 10910^9
1313 100000100000 保证给出的树是一条链
1212 保证给出的树存在一个点度数为 n1n-1
1111 保证 mm 次游戏初始给定根一致
1010 500000500000
99 10000001000000