题目背景

CTT2021 D2T2

特别提醒，由于洛谷交互机制的特殊性，你不能在程序中引用 datalab.h，而需要把 datalab.h 中的内容加入文件的开头。即，在程序中 solve 函数的前面加入以下几行语句：

#include<bitset>
#include<vector>
typedef std::bitset<8192> Bitset;
Bitset Add(Bitset A,Bitset B);
std::vector<int> solve(int k,int LIMIT);

题目描述

这是一道交互题。

在 AutoLab 平台上有一台奇怪的 $k$ 位计算机，其中 $k$ 是一个固定的常数 $8192 = 2^{13}$。这台计算机的字长恰好为 $\frac{k}{8} = 1024 = 2^{10}$，且其存储整数的方式如下：

每个整数会存储在连续的 $k$ 个 bit 中。假设将这 $k$ 个连续 bit 的值按照下标从小到大顺次排列后得到的长度为 $k$ 的 01 字符串为 $S$。假设 $S$ 的下标从 $0$ 开始，则这个字符串 $S$ 对应的整数值为 $f(S) = \sum \limits_{i=0}^{k-1} [S_i=1] sgn_i 2^i$，其中 $sgn$ 是一个小 W 预先定义的长度为 $k$ 的数组，其下标从 $0$ 开始且 $\forall 0 \le i < k,sgn_i \in \{-1,1\}$。出于某些特殊的原因，这台计算机上保证了 $sgn_{k-1} = 1$，$sgn_{k-2} = -1$。而你不知道 $sgn_0,sgn_1,\cdots,sgn_{k-3}$ 的值。

假设 $L = \sum \limits_{i=0}^{k-1} \min\{0,sgn_i\} 2^i$，$R = \sum \limits_{i=0}^{k-1} \max\{0,sgn_i\} 2^i$，则发现 $\forall L \le x \le R$，恰好有一个长度为 $k$ 的 01 字符串 $f(T)$，使得 $f(T) = x$（证明略去）。不妨设所有 $[L,R]$ 内的整数构成的集合为 $S$，则 $f$ 是一个从 $\{0,1\}^n$ 到 $S$ 的双射。据此我们可以设 $f(x)$ 的反函数 $g(x)$ 存在，且其满足 $\forall x \in S,f(g(x)) = x$。

假设存在 $x,y \in S$ ，则在该计算机上两个整数之间的加法 $\oplus$ 被定义为 $x \oplus y \overset{def}{=} (x + y - L + 2^k) \bmod 2^k + L$。不难发现 $\forall x,y \in S,x \oplus y \in S$。因而在这台计算机上加法满足封闭性。同时按照如上规则定义的加法也满足交换律，结合律等性质。这些性质的证明也同样略去。

学生可以通过有限次的询问获得和 $sgn_i$ 相关的信息。每次询问你可以给计算机两个长度为 $k$ 的仅包含 $0,1$ 的字符串 $x,y$，而计算机会返回 $g(f(x) \oplus f(y))$ 的值。本次的作业要求是在不超过 $m$ 次的询问中求出 $sgn_0,sgn_1,\cdots,sgn_{k-3}$ 的准确值。

小 Z 是一名聪明绝顶的学生，因而他尝试使用他的 $10^3 \mathrm{Hz}$ 的超强大脑来手算出每次交互的值。但是他发现给他的处理速度还是跟不上庞大的数据规模。因而它请你帮忙写一个程序，帮助他更快速的完成本次的作业。

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任务

你不需要，也不应该实现主函数，你只需要实现如下一个函数：

1. std::vector<int> solve(int k,int m)：

   • 传入数字的是计算机的字长 $k$ 和询问次数限制 $\mathrm{m}$。
   • 你需要返回一个大小为 $k$ 的 vector，其第 $i$ 个元素代表你确定的 $sgn_i$ 的值。

你可以通过如下函数调用 Autolab 上的加法操作。

1. std::bitset<8192> Add(std::bitset<8192> x,std::bitset<8192> y)：
   • 给定两个大小为 $k$ 的 bitset, 每个 bitset 自低位向高位阅读的结果代表了一个长度为 $k$ 的仅包含 01 的字符串。
   • 返回一个大小为 $k$ 的 bitset, 表示 $g(f(x) \oplus f(y))$ 的值。返回的格式和输入的格式相同。

根据题目要求，你至多只能询问 $\mathrm{m}$ 次两个整数在这台计算机上的加法结果。也就是说你至多只能调用 $\mathrm{m}$ 次 Add 函数。

评测时，交互库会恰好调用 solve 一次。

本题保证所使用的数组 sgn 在开始之前已经完全确定，不会根据和你的程序的交互过程动态构造，因此题目中的交互操作都是确定性的，你不需要关心这些操作在交互库中的具体实现。

数据保证在调用次数限制下，交互库运行所需的时间不超过 1s；交互库使用的内存大小固定，且不超过 128MB。

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如何测试你的程序

试题目录下的 grader.cpp 是我们提供的交互库参考实现，最终测试时所用的交互库实现与该参考实现有所不同，因此选手的解法不应该依赖交互库实现。

1. 你需要在本题目录下使用如下命令编译得到可执行程序：

   • g++ grader.cpp sample.cpp -o sample -O2 -lm

2. 对于编译得到的可执行程序：

   • 可执行文件将从标准输入读入以下格式的数据：
     • 第一行包含两个整数 $k,\mathrm{m}$。
     • 接下来一行 $k$ 个整数，第 $i$ 个数字表示 $sgn_i$。
   • 读入完成之后，交互库将调用恰好一次函数 $\texttt{solve}$ 你的函数正确返回后，交互库会判断你的计算是否正确，若正确则会输出 Correct 和交互函数调用次数相关信息，否则会输出相应的错误信息。

试题目录下有出题人提供的一份参考代码 sample.cpp，注意这份代码 不保证可以通过所有的测试用例。

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样例一、二

见附件下载。

这两个样例满足可执行程序的输入格式，因而可以直接输入到可执行程序中。

提示

评分方式

subtask	$k$	$m$
1	$=8192=2^{13}$	$=8200$
2		$=5550$
3		$=4096=2^{12}$

对于任意一个子任务中的数据，如果在某一个数据上选手返回了错误的答案，或者是超出了询问次数限制，得分为 $0$。

否则假设在子任务内所有测试点中，询问次数的最大值为 $a$，则对于每个子任务，选手得分为：

• Subtask $1$: $10$
• Subtask $2$: $15$
• Subtask $3$: $\min \{75,\lfloor \frac{13800}{\max\{a,1\}} \rfloor \}$

换而言之，当且仅当 $a \le 184$ 的时候，Subtask $3$ 可以获得满分。

选手在本题为本题三个子任务的得分之和。