题目背景
追逐影子的人,自己就是影子 —— 荷马
题目描述
Allison 最近迷上了文学。她喜欢在一个慵懒的午后,细细地品上一杯卡布奇诺,静静地阅读她爱不释手的《荷马史诗》。但是由《奥德赛》和《伊利亚特》 组成的鸿篇巨制《荷马史诗》实在是太长了,Allison 想通过一种编码方式使得它变得短一些。
一部《荷马史诗》中有 n 种不同的单词,从 1 到 n 进行编号。其中第 i 种单词出现的总次数为 wi。Allison 想要用 k 进制串 si 来替换第 i 种单词,使得其满足如下要求:
对于任意的 1≤i,j≤n ,i=j ,都有:si 不是 sj 的前缀。
现在 Allison 想要知道,如何选择 si,才能使替换以后得到的新的《荷马史诗》长度最小。在确保总长度最小的情况下,Allison 还想知道最长的 si 的最短长度是多少?
一个字符串被称为 k 进制字符串,当且仅当它的每个字符是 0 到 k−1 之间(包括 0 和 k−1 )的整数。
字符串 str1 被称为字符串 str2 的前缀,当且仅当:存在 1≤t≤m ,使得 str1=str2[1..t]。其中,m 是字符串 str2 的长度,str2[1..t] 表示 str2 的前 t 个字符组成的字符串。
输入格式
输入的第 1 行包含 2 个正整数 n,k ,中间用单个空格隔开,表示共有 n 种单词,需要使用 k 进制字符串进行替换。
接下来 n 行,第 i+1 行包含 1 个非负整数 wi,表示第 i 种单词的出现次数。
输出格式
输出包括 2 行。
第 1 行输出 1 个整数,为《荷马史诗》经过重新编码以后的最短长度。
第 2 行输出 1 个整数,为保证最短总长度的情况下,最长字符串 si 的最短长度。
4 2
1
1
2
2
12
2
6 3
1
1
3
3
9
9
36
3
提示
【样例解释】
样例 1 解释
用 X(k) 表示 X 是以 k 进制表示的字符串。
一种最优方案:令 00(2) 替换第 1 种单词, 01(2) 替换第 2 种单词, 10(2) 替换第 3 种单词,11(2) 替换第 4 种单词。在这种方案下,编码以后的最短长度为:
1×2+1×2+2×2+2×2=12
最长字符串 si 的长度为 2 。
一种非最优方案:令 000(2) 替换第 1 种单词,001(2) 替换第 2 种单词,01(2) 替换第 3 种单词,1(2) 替换第 4 种单词。在这种方案下,编码以后的最短长度为:
1×3+1×3+2×2+2×1=12
最长字符串 si 的长度为 3 。与最优方案相比,文章的长度相同,但是最长字符串的长度更长一些。
样例 2 解释
一种最优方案:令 000(3) 替换第 1 种单词,001(3) 替换第 2 种单词,01(3) 替换第 3 种单词, 02(3) 替换第 4 种单词, 1(3) 替换第 5 种单词, 2(3) 替换第 6 种单词。
【数据规模与约定】
所有测试数据的范围和特点如下表所示(所有数据均满足 0<wi≤1011):
测试点编号 |
n 的规模 |
k 的规模 |
备注 |
1 |
n=3 |
k=2 |
|
2 |
n=5 |
3 |
n=16 |
所有 wi 均相等 |
4 |
n=1000 |
wi 在取值范围内均匀随机 |
5 |
|
6 |
n=100000 |
7 |
所有 wi 均相等 |
8 |
|
9 |
n=7 |
k=3 |
10 |
n=16 |
所有 wi 均相等 |
11 |
n=1001 |
12 |
n=99999 |
k=4 |
13 |
n=100000 |
|
14 |
15 |
n=1000 |
k=5 |
16 |
n=100000 |
k=7 |
wi 在取值范围内均匀随机 |
17 |
|
18 |
k=8 |
wi 在取值范围内均匀随机 |
19 |
k=9 |
|
20 |
【提示】
选手请注意使用 64 位整数进行输入输出、存储和计算。
【评分方式】
对于每个测试点:
- 若输出文件的第 1 行正确,得到该测试点 40% 的分数;
- 若输出文件完全正确,得到该测试点 100% 的分数。