#981. [国家集训队] 单选错位

    ID: 981 远端评测题 1000ms 125MiB 尝试: 2 已通过: 2 难度: 10 上传者: 标签>数论数学期望概率论统计WC/CTSC/集训队

[国家集训队] 单选错位

题目描述

gx 和 lc 去参加 noip 初赛,其中有一种题型叫单项选择题,顾名思义,只有一个选项是正确答案。

试卷上共有 nn 道单选题,第 ii 道单选题有 aia_i 个选项,这 aia_i 个选项编号是 1,2,3,,ai1,2,3,\ldots,a_i,每个选项成为正确答案的概率都是相等的。

lc 采取的策略是每道题目随机写上 1ai1 \sim a_i 的某个数作为答案选项,他用不了多少时间就能期望做对 i=1n1ai\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i} 道题目。gx 则是认认真真地做完了这 nn 道题目,可是等他做完的时候时间也所剩无几了,于是他匆忙地把答案抄到答题纸上,没想到抄错位了:第 ii 道题目的答案抄到了答题纸上的第 i+1i+1 道题目的位置上,特别地,第 nn 道题目的答案抄到了第 11 道题目的位置上。

现在 gx 已经走出考场没法改了,不过他还是想知道自己期望能做对几道题目,这样他就知道会不会被 lc 鄙视了。

我们假设 gx 没有做错任何题目,只是答案抄错位置了。

输入格式

nn 很大,为了避免读入耗时太多,输入文件只有 55 个整数参数 n,A,B,C,a1n, A, B, C, a_1,由上交的程序产生数列 aa。下面给出 pascal/C/C++ 的读入语句和产生序列的语句(默认从标准输入读入):

// for pascal
readln(n,A,B,C,q[1]);
for i:=2 to n do
q[i] := (int64(q[i-1]) * A + B) mod 100000001;
for i:=1 to n do
q[i] := q[i] mod C + 1;


// for C/C++
scanf("%d%d%d%d%d", &n, &A, &B, &C, a + 1);
for (int i = 2; i <= n; i++)
	a[i] = ((long long) a[i - 1] * A + B) % 100000001;
for (int i = 1; i <= n; i++)
	a[i] = a[i] % C + 1;

选手可以通过以上的程序语句得到 nn 和数列 aaaa 的元素类型是 3232 位整数),nnaa 的含义见题目描述。

输出格式

输出一个实数,表示 gx 期望做对的题目个数,保留三位小数。

3 2 0 4 1
1.167

提示

【样例说明】

正确答案 gx的答案 做对题目 出现概率
{1,1,1}\{1,1,1\} 33 16\frac16
{1,2,1}\{1,2,1\} {1,1,2} \{1,1,2\} 11
{1,3,1}\{1,3,1\} {1,1,3} \{1,1,3\}
{2,1,1}\{2,1,1\} {1,2,1} \{1,2,1\}
{2,2,1}\{2,2,1\} {1,2,2} \{1,2,2\}
{2,3,1}\{2,3,1\} {1,2,3}\{1,2,3\} 00

a={2,3,1}a = \{2,3,1\}

共有 66 种情况,每种情况出现的概率是 16\frac{1}{6},gx 期望做对 3+1+1+1+1+06=76\frac{3+1+1+1+1+0}6 = \frac76 题。(相比之下,lc 随机就能期望做对 116\frac{11}6 题)

对于 30%30\% 的数据,n10,C10n\leq 10, C\leq 10

对于 80%80\% 的数据,n104,C10n\leq 10^4, C\leq 10

对于 90%90\% 的数据,n5×105,C108n\leq 5\times 10^5, C\leq 10^8

对于 100%100\% 的数据,2n107,0A,B,C1082\leq n\leq 10^7, 0\leq A,B,C \leq 10^81ai1081 \leq a_i \leq 10^8