题意

给定 $M,D,L,R$，求 $L\leq Dx\bmod M\leq R$ 的最小正整数解。

Solution

先考虑平凡的做法。

从 $L$ 枚举到 $R$，每一个都跑一次扩展欧几里得，时间复杂度 $O(R-L+1\log (R-L+1))$，一看数据范围 $10^9$，可以考虑丢掉这种算法。

既然没办法用同余方程解决，那我们考虑将 $\bmod$ 变成减法的形式。

其中那个 $y$ 是个整数。我们只要求出这个 $y$ 就能求出 $x$。

现在移项，得到：

求 $y$ 的话我们就不能出现 $x$。尝试取模，同时 $\bmod\ D$ 可以消去 $x$，得到：

ohhhhhhhhh！这个形式跟我们的 $L\leq Dx\bmod M\leq R$ 是完全一致的！所以我们可以考虑使用递归求解。

设有函数 $solve(d,m,l,r)$ 求解的是 $L\leq Dx\bmod M\leq R$ 中 $x$ 的最小正整数解，那么我们递归进去就应该是 $solve(m\bmod d,d,(-r)\bmod d,(-l)\bmod d)$。注意，因为取模的可乘性，所以 $m$ 是可以 $\bmod\ d$ 的。

这个函数的复杂度显然是正确的，与辗转相除有异曲同工之妙。

写的时候注意向下取整的问题，不然你会像我这样一直差 $1$，急的像个猴子：link。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

int T;

ll solve(ll d, ll m, ll l, ll r){
	if(!d || l > r)
		return -1;
	ll x = (l - 1) / d + 1;
	if(x * d <= r)
		return (x % m + m) % m;
	ll p = solve(m % d, d, ((-r) % d + d) % d, ((-l) % d + d) % d);
	if(p == -1)
		return -1;
	return ((((l - 1) + m * p) / d + 1) % m + m) % m;
}

int main(){
	scanf("%d", &T);
	while(T--){
		ll m, d, l, r;
		scanf("%lld%lld%lld%lld", &m, &d, &l, &r);
		r = min(m - 1, r);
		printf("%lld\n", solve(d, m, l, r));
	}
	return 0;
}