题目背景

戌蛤：就戌蛤吧

戌蛤：我觉得

戌蛤：挺好的

我：戌蛤这个名字是什么意思啊（

戌蛤：是

戌蛤：是省队排名第十一

戌蛤：按照天干$^\dagger$

戌蛤：是戌

我：但是

我：戌蛤这听上去不像是个正经名字啊（

我：太蛤了（确信

$^\dagger$：此处有误。应为「地支」。

题目描述

给出一个 $n \times n$ 的矩阵 $A$，满足所有 $a_{i, j}$ 都是 $[1, n]$ 上的整数。

现构造一个代数系统

$$G = \langle \{1, 2, \dots, n\}, \times \rangle$$

其中

$$i \times j = a_{i, j} \quad (1 \leqslant i, j \leqslant n) $$

试求 $G$ 是否是一个半群/含幺半群/群/阿贝尔群。

输入输出格式

输入格式

输入数据的第一行包含一个正整数 $n$，含义如题目描述所示。

输入数据的接下来 $n$ 行，每行包含 $n$ 个正整数，其中第 $i$ 行的第 $j$ 个正整数表示 $a_{i, j}$。

同一行内的多个数字之间由空格隔开。

输出格式

• 如果 $G$ 是阿贝尔群，输出一行 Abel Group
• 否则，如果 $G$ 是群，输出一行 Group
• 否则，如果 $G$ 是含幺半群，输出一行 Monoid
• 否则，如果 $G$ 是半群，输出一行 Semigroup
• 否则，输出一行 AAAAE-A-A-I-A-U JO-oooooooooooo

输入输出样例

5
2 3 4 5 1
3 4 5 1 2
4 5 1 2 3
5 1 2 3 4
1 2 3 4 5

Abel Group

5
1 2 3 4 1
1 2 3 4 2
1 2 3 4 3
1 2 3 4 4
1 2 3 4 5

Monoid

数据范围与约定

$1 \leqslant n \leqslant 100$。$1 \leqslant a_{i, j} \leqslant n$。

时空限制：$\texttt{1s/256MiB}$。

提示

对于一个代数系统 $G = \langle S, \times \rangle$，如果它满足以下性质：

• 对于任意 $x, y, z \in S$，$(x \times y) \times z = x \times (y \times z)$

那么它是一个半群。

---

对于一个半群 $G = \langle S, \times \rangle$，如果它满足以下性质：

• 存在 $e \in S$，使得对于任意 $x \in S$，$e \times x = x$ 且 $x \times e = x$

那么它是一个含幺半群。称 $e$ 为 $S$ 的幺元。

---

对于一个含幺半群 $G = \langle S, \times \rangle$，设其幺元为 $e$，如果它满足以下性质：

• 对于任意 $x \in S$，存在 $y \in S$ 使得 $x \times y = e$ 且 $y \times x = e$

那么它是一个群。

---

对于一个群 $G = \langle S, \times \rangle$，如果它满足以下性质：

• 对于任意 $x, y \in S$，$x \times y = y \times x$

那么它是一个阿贝尔群。