#USACOC2111B. Routing Schemes

Routing Schemes

考虑一个由 NN 个编号为 1N1 \ldots N 的结点组成的网络。每个结点被指定为发送者(sender)、接收者(receiver)或两者均不是。发送者的数量 SS 与接收者的数量相等。

这一网络中结点间的连接关系可以用一系列形式为 iji \to j 的有向边表示,代表由结点 ii 可以路由到结点 jj。有趣的是,所有的边满足性质 i<ji \lt j,除了 KK 条满足 i>ji \gt j。网络中没有自环(iii \to i 形式的边)。

一个「路由方案」的描述由 SS 条从发送者到接收者的有向路径组成,其中没有两条路径有相同的起止点。也就是说,这些路径将不同的发送者连接到不同的接收者。一条从发送者 ss 到接收者 rr 的路径可以用一个结点序列

s=v0v1v2ve=rs=v_0 \to v_1 \to v_2 \to \cdots \to v_e=r

表示,其中对于所有 0i<e0 \leqslant i \lt e,有向边 vivi+1v_i \to v_i+1 均存在。一个结点可能在同一条路径中出现多于一次。

计算使得每条有向边恰好使用一次的路由方案数量。由于答案可能非常大,输出答案对 109+710^9+7 取模的结果。输入保证存在至少一种路由方案符合条件。

每个输入包含 TT 组需要独立求解的测试用例。输入保证所有测试用例的 N2N^2 之和不超过 21042 \cdot 10^4

  • 2N1002 \leqslant N \leqslant 100
  • S1S \geqslant 1
  • 0K20 \leqslant K \leqslant 2
  • 1T201 \leqslant T \leqslant 20

输入格式

输入的第一行包含 TT,为测试用例的数量。

每个测试用例的第一行包含整数 NNKK。注意 SS 并不会在输入中明确给出。

每个测试用例的第二行包含一个长为 NN 的字符串。如果第 ii 个结点是发送者,则字符串的第 ii 个字符为 S,如果第 ii 个结点是接收者则为 R,如果第 ii 个结点两者均不是则为 .。字符串中 R 的数量等于 S 的数量,且至少有一个 S

每个测试用例的以下 NN 行每行包含一个长为 NN 的 01 字符串。如果从结点 ii 到结点 jj 存在一条有向边,则第 ii 行的第 jj 个字符为 11,否则为 00。由于不存在自环,矩阵的主对角线仅包含 00。除此之外,在主对角线以下恰好有 KK11

为提高可读性,相邻的测试用例之间用一个空行隔开。

输出格式

对每个测试用例,输出每条边使用恰好一次的路由方案的数量,结果对 109+710^9+7 取模。输入保证对每个测试用例存在至少一种合法的路由方案。

2

8 0
SS....RR
00100000
00100000
00011000
00000100
00000100
00000011
00000000
00000000

13 0
SSS.RRRSS.RR.
0001000000000
0001000000000
0001000000000
0000111000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000
0000000001000
0000000001000
0000000000110
0000000000000
0000000000000
0000000000000
4
12

对于第一个测试用例,网络中的边为 $1 \to 3,2 \to 3,3 \to 4,3 \to 5,4 \to 6,5 \to 6,6 \to 7,6 \to 8$。

有四种可能的路由方案:

  • $1 \to 3 \to 4 \to 6 \to 7,2 \to 3 \to 5 \to 6 \to 8$
  • $1 \to 3 \to 5 \to 6 \to 7,2 \to 3 \to 4 \to 6 \to 8$
  • $1 \to 3 \to 4 \to 6 \to 8,2 \to 3 \to 5 \to 6 \to 7$
  • $1 \to 3 \to 5 \to 6 \to 8,2 \to 3 \to 4 \to 6 \to 7$

对于第二个测试用例,网络中的边为 $1 \to 4,2 \to 4,3 \to 4,4 \to 5,4 \to 6,4 \to 7,8 \to 10,9 \to 10,10 \to 11,11 \to 12$。

一种可能的路由方案由如下路径组成:

  • 1451 \to 4 \to 5
  • 2472 \to 4 \to 7
  • 3463 \to 4 \to 6
  • 810128 \to 10 \to 12
  • 910119 \to 10 \to 11

总的来说,发送者 {1,2,3}\{1,2,3\} 可以路由到接收者 {5,6,7}\{5,6,7\} 的某个排列,发送者 {8,9}\{8,9\} 可以路由到接收者 {11,12}\{11,12\} 的某个排列,得出答案为 6×2=126 \times 2=12

2

5 1
SS.RR
00101
00100
10010
00000
00000

6 2
S....R
001000
000100
010001
000010
001000
000000
3
1

对于第一个测试用例,网络中的边为 13,15,23,31,341 \to 3,1 \to 5,2 \to 3,3 \to 1,3 \to 4

有三种可能的路由方案:

  • 1315,2341 \to 3 \to 1 \to 5,2 \to 3 \to 4
  • 134,23151 \to 3 \to 4,2 \to 3 \to 1 \to 5
  • 15,231341 \to 5,2 \to 3 \to 1 \to 3 \to 4

对于第二个测试用例,网络中的边为 13,24,32,36,45,531 \to 3,2 \to 4,3 \to 2,3 \to 6,4 \to 5,5 \to 3

只有一种可能的路由方案:13245361 \to 3 \to 2 \to 4 \to 5 \to 3 \to 6

5

3 2
RS.
010
101
100

4 2
.R.S
0100
0010
1000
0100

4 2
.SR.
0000
0011
0100
0010

5 2
.SSRR
01000
10101
01010
00000
00000

6 2
SS..RR
001010
000010
000010
000010
100101
000000
2
1
2
6
24

一些额外的小的测试用例。

测试点性质

  • 测试点 4-5 满足 N6N \leqslant 6
  • 测试点 6-7 满足 K=0K=0
  • 测试点 8-12 满足 K=1K=1
  • 测试点 13-24 满足 K=2K=2

题目提供者

Benjamin Qi