数制概念

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数制也称为计数制，是一种计数的方法，用一组固定的符号和统一的规则来表示数值的方法。包括数位、基数和位权三个要素。

• 数位： 指数字符号在一个数中所处的位置。
• 基数： 指在某种进位计数制中数位上所能使用的数字符号的个数。（例如十进制的基数为10）
• 位权： 数制中某一位上的1所表示数值的大小（所处位置的价值）。（例如十进制的567，5的位权是100，6的位权是10，7的位权是1）

进制概念

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进制就是进位计数制，是人为定义的带进位的计数方法。对于任何一种进制 -- X进制，每一位上的数做运算时都是逢 X 进一（借位时借一当 X ），各数位上的数字可以使用 0,1,...,X - 1共 X 个数字来表示。

• 二进制： 由0,1组成，即“逢二进一”，基数是 2。
• 八进制： 由0~7组成，即“逢八进一”，基数是 8。
• 十进制： 由0~9组成，即“逢十进一”，基数是 10。
• 十六进制： 由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F组成，即“逢十六进一”，基数是 16。

进制转换

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十进制转换为 X 进制

整数部分：“除 X 取余，逆序排列”

1. 将 X 作为除数，用十进制整数除以 X，可以得到一个商和余数；

2. 保留余数，用商继续除以 X，又得到一个新的商和余数； ......

3. 如此反复进行，每次都保留余数，用商接着除以 X，直到商为 0 时为止。

4. 先得到的余数作为 X 进制数的低位数字，后得到的余数作为 X 进制数的高位数字，依次排列起来。

例：将十进制数字 42 转为二进制

$(42)_{10​} = (101010)_2$​

小数部分：“乘 X 取整，顺序排列”

1. 将十进制小数部分乘以 X，乘完后将乘积的整数部分取出；

2. 余下的小数部分继续乘以 X ，再将新乘积的整数部分取出；......

3. 如此反复进行，每次都取出整数部分，用剩下的小数部分接着乘以 X，直到乘积中的小数部分为 0，或者达到所要求的精度为止。

4. 把取出的整数部分按顺序排列起来，先取出的整数作为 X 进制小数的高位数字，后取出的整数作为低位数字。

例：将十进制数字 0.6875 转为二进制

$(0.6875)_{10​} = (0.1011)_2$​

注：绝大部分浮点数无法用二进制精确表示

X 进制转换为十进制

方法：“按权展开求和”

1. 对于整数部分，从右往左看，第 i 位的位权等于X $^{i−1}$；

2. 对于小数部分，从左往右看，第 j 位的位权为X ^{−j}。

3. 把每个数位上数值与对应的位权相乘后，将乘积相加求和。

例：将二进制数字 101.11 转为十进制

其他进制转换

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