二次函数的定义与性质

定义

二次函数是指形如 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 的函数，其中 $a, b, c$ 为常数，且 $a \neq 0$。

性质

1. 开口方向：

   • 当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上。
   • 当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下。

2. 对称轴：

   • 抛物线的对称轴为 $x = -\frac{b}{2a}$。

3. 顶点：

   • 顶点坐标为 $ \left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right) $。

4. 最值：

   • 当 $a > 0$ 时，函数的最小值为顶点的纵坐标。
   • 当 $a < 0$ 时，函数的最大值为顶点的纵坐标。

5. 增减性：

   • 在对称轴左侧，函数单调递减；在对称轴右侧，函数单调递增。

二次函数的应用及例题

例题1：自由落体运动

在自由落体运动中，物体的位移 $s$ 与时间 $t$ 的关系为： $s = \frac{1}{2} g t^2$ 其中 $g$ 是重力加速度常数（约 $9.8 \, \text{m/s}^2$）。

题目：如果一个物体从静止状态开始自由下落，计算在 $t = 3$ 秒时的位移。

解答： $ s = \frac{1}{2} g t^2 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times 3^2 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times 9 = 44.1 \, \text{m} $

例题2：抛物线型抛射运动

物体在平面内的抛射运动可以用二次函数描述，水平位移 $x$ 和垂直位移 $y$ 之间的关系为： $ y = x \tan \theta - \frac{g}{2v^2 \cos^2 \theta} x^2 $

题目：如果一个物体以 $v = 10 \, \text{m/s}$ 的初速度， $45^\circ$的角度抛出，计算在 $x = 5 \, \text{m}$ 时的垂直位移 ￥ y $

解答：

$$y = x \tan 45^\circ - \frac{9.8}{2 \times 10^2 \times \cos^2 45^\circ} x^2 = 5 - \frac{9.8}{100} \times 5^2 = 5 - \frac{9.8}{100} \times 25 = 5 - 2.45 = 2.55 \, \text{m} $$

例题3：经济学中的成本函数

企业生产的总成本 $C$ 可表示为产量 $Q$ 的二次函数： $C(Q) = aQ^2 + bQ + c$

题目：某企业的成本函数为 $C(Q) = 2Q^2 + 3Q + 5$。求当产量 $Q = 10$ 时的总成本。

解答：

$$C(10) = 2 \times 10^2 + 3 \times 10 + 5 = 2 \times 100 + 30 + 5 = 200 + 30 + 5 = 235 $$

例题4：工程学中的结构设计

在结构工程中，桥梁的弯曲可用二次函数描述。例如，某桥梁的弯曲曲线为： $y = 0.01x^2 - 0.5x + 10$

题目：求当 $x = 20$ 时桥梁的垂直位移 $ y ￥。

解答：

$$y = 0.01 \times 20^2 - 0.5 \times 20 + 10 = 0.01 \times 400 - 10 + 10 = 4 - 10 + 10 = 4 $$

总结

二次函数的应用广泛，涵盖物理现象、经济行为及工程结构等多个领域。掌握其性质和图像对于解决实际问题至关重要。

参考资料

• 书籍：

  • 《初等代数》：G. Chrystal
  • 《高等代数》：Thomas W. Hungerford
  • 《微积分》：James Stewart

• 在线资源：

  • Khan Academy
  • Wolfram Alpha
  • Math is Fun

• 学术论文：

  • "Quadratic Functions and Their Applications"：David A. Cox
  • "The Role of Quadratic Functions in Physics"：John R. Taylor

• 视频课程：

  • Coursera - 课程名称："Precalculus"
  • edX - 课程名称："College Algebra and Problem Solving"

后言

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