树

一、树的定义

一棵树是由n（n>0）个元素组成的有限集合，其中：

（1）每个元素称为结点（node）

（2）有一个特定的结点，称为根结点或树根（root）

（3）除根节点外，其余节点能分成m（m>=0）个互不相交的有限集合 T(0)-T(m-1)。其中的每一个子集都是一个树，这些集合被称为这棵树的子树。

如下图是一棵树：

二、树的基本概念

• 树是由递归定义的
• 一棵树中至少有1个结点。这个节点就是根节点，他没有前驱，其余每个节点都有且只有一个前驱节点。每个节点可以有任意个后继结点。因此，树是非线性结构，但也是有序结构。
• 一个节点的子树个数称为这个结点的度，例如上图根节点的度为2。度为0的结点被称为叶结点；度不为0的结点被称为分支结点，根以外的分支节点称为内部结点，树中各节点的度的最大值称为这棵树的度。
• 在用图形表示的树形结构中，对两个用线段（我们称为树枝）连接的相关联的结点，称上端结点为下端节点的父节点，反之为子节点。
• 定义一棵树的根的层次为1，其他结点的层次等于他的父节点的层次加一。一棵树中所有节点的层次的最大值称为这棵树的深度。
• 对于树中任意两个不同的结点，从一个结点出发一定能到达另一个结点。
• $m$ （m>=0）棵树的结合称为森林。

三、树的基本术语

• 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；
• 叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；
• 非终端节点或分支节点：度不为0的节点；
• 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；
• 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；
• 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；
• 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；
• 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
• 树的高度或深度：树中节点的最大层次；
• 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；
• 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；
• 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。
• 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林；

四、二叉树基本概念

二叉树（binary tree，简称BT），是一种特殊的树，它的度是2。一个节点有两个子节点，其中左边的是左子节点，右边的是右子节点。左边的叫左子树，右边的叫右子树。

五、二叉树的性质

• 在二叉树的第 i 层上最多有 $2^{i-1}$ 个结点（i>=1）
• 深度为 $k$ 的二叉树至多有 $2^{k}-1$ 个结点（k>=1）
• 特别的，深度为 $k$ ，且有 $2^{k}-1$ 个结点的二叉树称为满二叉树。
• 对于任意一棵二叉树，如果其叶子结点数为 $n_0$ ，度为 2 的结点数为 $n_2$ ，那么 ${n_0}={n_2}+1$ 。
• 具有 n 个结点的完全二叉树的深度为 $floor(log_2\space n)+1$ 。

六、(二叉)树的遍历

在解决问题时，常常要按照某种次序来获取树中全部节点的信息，这种操作叫做树的遍历。

二叉树的遍历方式主要可以分为四种：前序遍历、中序遍历、后序遍历和层序遍历。

• 先序遍历 先访问根节点，然后按照左右先后顺序遍历各子树（根左右）
• 中序遍历 先访问左子树，然后访问根，最后访问右子树（左根右）
• 层次遍历 按层次的大笑从小到大遍历，同一层次按照从左到右的顺序。
• 后序遍历 先按照左右先后顺序遍历各子树，然后访问根（左右根）

前序遍历、中序遍历和后序遍历就是中的位置不一样，前序遍历就是中左右，中序遍历就是左中右，后序遍历就是左右中。

前中后序遍历都是深度搜索，层序遍历是广度搜索。

七、⼆叉树的种类

⼆叉树有两种主要的形式：满⼆叉树和 完全⼆叉树。

八、满二叉树

在一棵二叉树中，如果所有的分支节点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树成为满二叉树。

九、完全二叉树

对一棵具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为 i（1 ≤ i ≤ n）的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中的位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树

十、⼆叉树遍历的实现(代码)

• 先序遍历

void preorder (int root)
{
	if (root != -1)       //跳出递归条件 
	{
		cout << data[root] << " ";
		preorder(lchild[root]);
		preorder(rchild[root]);
	}
}

• 中序遍历

void midorder (int root)
{
	if (root != -1)       //跳出递归条件 
	{
		preorder(lchild[root]);
		cout << data[root] << " ";
		preorder(rchild[root]);
	}
}

• 后序遍历

void postorder (int root)
{
	if (root != -1)       //跳出递归条件 
	{
		preorder(lchild[root]);
		preorder(rchild[root]);
		cout << data[root] << " ";
	}
}

---

参考文章：【数据结构/C++】 树详解

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