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引入

给定一张有向无环图（DAG, Directed Acyclic Graph），对其顶点进行排序，使得对于每条从 $u$ 到 $v$ 的有向边 $(u, v)$，$u$ 在排序中都在 $v$ 的前面。这种排序就称为拓扑排序（Topological sorting）。

当且仅当图中没有定向环时（即有向无环图），才有可能进行拓扑排序。如果排序失败，就说明该有向图存在环，不是 DAG。

任何有向无环图至少有一个拓扑排序。

举例：在某校的选课系统中，存在这样的规则：每门课可能有若干门先修课，如果要修读某一门课，则必须要先修读此课程所要求的先修课后才能修读。假设一个学生同时只能修读一门课程，那么，被选课系统允许的他修完他需要所有课程的顺序是一个拓扑序。

在这个例子中，每一门课程对应有向图中的一个顶点，每一个先修关系对应一条有向边（从先修课指向需要先修课的课）。

算法

Kahn 算法

初始状态下，集合 $S$ 装着所有入度为 $0$ 的点，$L$ 是一个空列表。

每次从 $S$ 中任意取出一个点 $u$ 放入 $L$, 然后将 $u$ 的所有边 $(u, v_1), (u, v_2), (u, v_3) \cdots$ 删除。对于边 $(u, v)$，若将该边删除后点 $v$ 的入度变为 $0$，则将 $v$ 放入 $S$ 中。

不断重复以上过程，直到集合 $S$ 为空。检查图中是否存在任何边，如果有，那么这个图一定有环路，否则返回 $L$，$L$ 中顶点的顺序就是拓扑排序的结果。

基本上就是 BFS 的框架。

代码实现：

int n, m;
vector<int> G[MAXN];
int in[MAXN];  // 存储每个结点的入度
bool toposort() {
  vector<int> L;
  queue<int> S;
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    if (in[i] == 0) S.push(i);
  while (!S.empty()) {
    int u = S.front();
    S.pop();
    L.push_back(u);
    for (auto v : G[u]) {
      if (--in[v] == 0) { S.push(v); }
    }
  }
  if (L.size() == n) {
    for (auto i : L) cout << i << ' ';
    return true;
  } else {
    return false;
  }
}

DFS 算法

借助 DFS 完成拓扑排序：在访问完一个结点之后把它加到当前拓扑序的首部。

代码实现：

当 c[u] == 0 时，表示从来没有被访问过（从来没有调用过 dfs(u)）；c[u] == 1 时，表示已经访问过，而且还递归访问过它的所有子孙（即调用过 dfs(u) 且已返回）；c[u] == -1 时表示正在访问（即递归调用 dfs(u) 正在栈帧中，尚未返回）。

int n, m;
vector<int> G[MAXN];
int c[MAXN], topo[MAXN], t;
bool dfs(int u) {
  c[u] = -1;
  for (auto v : G[u]) {
    if (c[v] < 0)
      return false;
    else if (c[v] == 0 && !dfs(v))
      return false;
  }
  c[u] = 1;
  topo[--t] = u;
  return true;
}
bool toposort() {
  t = n;
  memset(c, 0, sizeof(c));
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    if (!c[i])
      if (!dfs(i)) return false;
  return true;
}

练习

• UVA10305 给任务排序 Ordering Tasks 例题
• CF1385E Directing Edges

参考资料

• OI Wiki CC BY-SA 4.0
• 《算法竞赛入门经典》