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可持久化线段树笔记
ChungZH LV 8 @ 2022-8-23 9:51:37

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动态开点线段树

常规写法的线段树只能维护不算很长的数组，由于空间不够，对于 $10^9$ 级别的数组却不能很好地维护。所以，我们要用到动态开点线段树。

核心思想：节点只有在有需要的时候才被创建。

比如说，要求在一个长度为 $n < 10^9$ 的数组上实现区间求和、单点修改的操作，初始数组元素值均为 0。

那么，我们一开始只创建一个根结点，接下来遵循动态开点的核心思想进行操作。

比如下面这张图的例子，我们依次修改 1, 2, 8 三个结点，途中创建了必要的结点。而在图中没有显示的空结点并没有被创建，视为 0，这样就节省了空间。

dynamic

那么对于区间修改时，会有 pushdown() 操作，可能会修改一个不存在的结点。这时有两个解决方案：

在 pushdown() 时，如果缺少孩子，就直接创建一个新的孩子就可以了。
使用 标记永久化 技巧（李超线段树），让结点不再进行 pushdown()，进一步节省了空间。

复杂度分析：单次操作的时间复杂度是不变的，为 $O(\log n)$ 。对于空间复杂度，由于每次操作都有可能创建并访问全新的一系列结点，因此 $m$ 次操作的空间复杂度是 $O(m\log n)$ ，不再是原本线段树的 $O(n)$ 。

代码实现：

int n, cnt, root;  // cnt 表示当前结点个数
int sum[N*2], ls[N*2], rs[N*2];
void upd(int& rt, int l, int r, int p, int f) { // 注意这里传入一个引用，可以修改 ls 或 rs 数组
  if (!rt) rt = ++cnt;  // 当结点为空时，创建一个新的结点
  if (l == r) {
    sum[rt] += f;
    return;
  }  
  int m = (l + r) >> 1;
  if (p <= m)
    upd(ls[rt], l, m, p, f);
  else
    upd(rs[rt], m + 1, r, p, f);
  sum[rt] = sum[ls[rt]] + sum[rs[rt]];  // pushup
}
int query(int rt, int l, int r, int L, int R) {
  if (!rt) return 0;  // 如果结点为空，返回 0
  if (l >= L && r <= R) return sum[rt];
  int m = (l + r) >> 1, ans = 0;
  if (L <= m)
    ans += query(ls[rt], l, m, L, R);
  if (R > m)
    ans += query(rs[rt], m + 1, r, L, R);
  return ans;
}

可持久化线段树

可持久化线段树，就是可以存储历史信息的线段树。

比如我们对数组进行了 n 次修改，然后突然希望回到第 i 个版本，然后又基于这个版本进行一些新的修改等，就是可持久化线段树需要解决的问题。

最暴力的想法是，对于每一次修改，都重新建一棵完整的线段树。然后，空间爆炸了。

persistent-seg

我们分析一下，就会发现每一次修改时，改变的结点的个数都是线段树的深度 $\log n$ 。如图，我们修改了结点 $8$ 的值，受到影响的结点都在从根结点 $1$ 到 $8$ 的路径上，即 $1, 2, 4, 8$ 。其他的结点都是不变的。因此，我们只需要重新创建有改动的结点即可，例如 $1(new), 2(new), 4(new), 8(new)$ （新的结点是动态开点的，编号和原来的不一样，因此这里用 $(new)$ 标注）。然后，例如对于新的根结点 $1(new)$ ，将左儿子指向新的 $2(new)$ ，右儿子和旧的根结点 $1(old)$ 的右儿子相同，是 $3(old)$ ，不用修改。

例题

Luogu-P3919 【模板】可持久化线段树 1（可持久化数组）

如题，你需要维护这样的一个长度为 $N$ 的数组，支持如下几种操作

在某个历史版本上修改某一个位置上的值
访问某个历史版本上的某一位置的值

此外，每进行一次操作（对于操作2，即为生成一个完全一样的版本，不作任何改动），就会生成一个新的版本。版本编号即为当前操作的编号（从1开始编号，版本0表示初始状态数组）

$ 1 \leq N, M \leq {10}^6, 1 \leq {loc}_i \leq N, 0 \leq v_i < i, -{10}^9 \leq a_i, {value}_i \leq {10}^9$

程序实现：

为了保险，线段树数组的大小应设为 n << 5。洛谷上关于此的讨论。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 1000006;
int n, m;
int a[MAXN];
int rt[MAXN << 5], lc[MAXN << 5], rc[MAXN << 5], sm[MAXN << 5], ver = 0, tot = 0;
void build(int& rt, int l, int r) {
  rt = ++tot;
  if (l == r) {
    sm[rt] = a[l];
    return;
  }
  int m = (l + r) >> 1;
  build(lc[rt], l, m);
  build(rc[rt], m + 1, r);
}
void update(int& rt, int pre, int l, int r, int q, int v) {  // pre：原结点
  rt = ++tot;
  lc[rt] = lc[pre];
  rc[rt] = rc[pre];
  sm[rt] = sm[pre];  // 复制原结点的信息，之后按需修改
  if (l == r) {
    sm[rt] = v;
    return;
  }
  int m = (l + r) >> 1;
  if (q <= m)
    update(lc[rt], lc[pre], l, m, q, v);  // 新建左子结点，但是右子结点不变
  else
    update(rc[rt], rc[pre], m + 1, r, q, v);  // 反之
}
int query(int rt, int l, int r, int q) {
  if (l == r) return sm[rt];
  int m = (l + r) >> 1;
  if (q <= m) return query(lc[rt], l, m, q);
  return query(rc[rt], m + 1, r, q);
}
int main() {
  cin >> n >> m;
  for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
  build(rt[0], 1, n);
  while (m--) {
    int v, opt, loc, val;
    cin >> v >> opt >> loc;
    if (opt == 1) {
      cin >> val;
      update(rt[++ver], rt[v], 1, n, loc, val);  // rt[++ver] 以 rt[v] 为基础
    } else {
      cout << query(rt[v], 1, n, loc) << endl;
      rt[++ver] = rt[v];
    }
  }
  return 0;
}

权值线段树

普通的线段树维护的是区间内最值或总和，而权值线段树每个结点维护的是在一个区间内的数出现的次数。因此，可以把权值线段树看作一个桶。举个例子，如果 $tree[1]$ 对应的区间是 $[1, 8]$ ，那么它的值就是 $1, 2, \cdots, 7, 8$ 在原数组中出现的次数之和。

权值线段树中，采用元素到下标数组映射的方式进行插入。当数据离散程度较大的情况，空间的利用效率比较低，这时候可以搭配离散化技巧（下面有例子）。

一个常见的应用是把权值线段树用于处理区间第 $K$ 小/大问题。

例题：Luogu-P1138 第 k 小整数 RECORD

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
const int MAXN = 10005;
int n, k, a[MAXN];
int tree[MAXN << 1], lc[MAXN << 1], rc[MAXN << 1], root = 0, tot = 0;
// 对于权值线段树来说，build 函数是没有必要的，因为默认值为 0
// 只不过这里为了节省空间用了动态开点，才需要 build()
void build(int &rt, int l, int r) { 
  rt = ++tot;
  if (l == r) return;
  int m = (l + r) >> 1;
  build(lc[rt], l, m);
  build(rc[rt], m + 1, r);
}
void update(int rt, int l, int r, int q) {
  if (l == r) {
    tree[rt] = 1; // 出现了 1 次
    return;
  }
  int m = (l + r) >> 1;
  if (q <= m)
    update(lc[rt], l, m, q);
  else
    update(rc[rt], m + 1, r, q);
  tree[rt] = tree[lc[rt]] + tree[rc[rt]]; // 区间内数的数量
}
int kth(int rt, int l, int r, int k) {
  if (l == r) return l;
  int m = (l + r) >> 1;
  if (k > tree[lc[rt]]) return kth(rc[rt], m + 1, r, k - tree[lc[rt]]); // 在右半区间内
  return kth(lc[rt], l, m, k); // 在左半区间内
}
int main() {
  cin >> n >> k;
  build(root, 1, n);
  for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
  sort(a + 1, a + n + 1); // 离散化+去重
  n = unique(a + 1, a + 1 + n) - a - 1; 
  if (k > n) {
    cout << "NO RESULT\n";
    return 0;
  }
  for (int i = 1; i <= n; i++) { update(root, 1, n, i); } // 离散化后，插入下标
  cout << a[kth(root, 1, n, k)] << endl; // 离散化后，kth() 查到的是第 k 小整数的 **下标**
  return 0;
}

可持久化权值线段树（主席树）

主席树名称来源于其发明人黄嘉泰的姓名的首字母缩写 HJT。

例题

Luogu-P3834 【模板】可持久化线段树 2

如题，给定 $n$ 个整数构成的序列 $a$ ，将对于指定的闭区间 $[l, r]$ 查询其区间内的第 $k$ 小值。

$1 \leq n,m \leq 2\times 10^5$ ， $|a_i| \leq 10^9$ ， $1 \leq l \leq r \leq n$ ， $1 \leq k \leq r - l + 1$ 。

首先看到第 $k$ 小问题，想到要使用权值线段树。

对于每一个数，我们都

我们先把问题简化一下：每次求 $[1, r]$ 区间内的 $k$ 小值。

这时，只要找到插入 $r$ 的版本的权值线段树，然后查找即可。

回到原问题：求 $[l, r]$ 区间内的 $k$ 小值。

我们发现，主席树其实具有前缀和的性质，查询 $[l, r]$ 可以转化为 $[1, r]$ 减去 $[1, l-1]$ 的对应区间的大小。

注意数据范围， $2\times 10^5$ 个数， $|a_i| \leq 10^9$ ，因此用离散化。

RECORD

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 200005;
int n, m, q;
int a[MAXN], b[MAXN];
int rt[MAXN << 5], lc[MAXN << 5], rc[MAXN << 5], sm[MAXN << 5], tot = 0;
void build(int& rt, int l, int r) {
  rt = ++tot;
  if (l == r) return;
  int m = (l + r) >> 1;
  build(lc[rt], l, m);
  build(rc[rt], m + 1, r);
}
void update(int& rt, int pre, int l, int r, int q) {
  rt = ++tot; // 动态开点
  lc[rt] = lc[pre];
  rc[rt] = rc[pre];
  sm[rt] = sm[pre] + 1;
  if (l == r) return;
  int m = (l + r) >> 1;
  if (q <= m)
    update(lc[rt], lc[pre], l, m, q);
  else
    update(rc[rt], rc[pre], m + 1, r, q);
}
int query(int rt, int pre, int l, int r, int k) {
  if (l == r) return l;
  int x = sm[lc[rt]] - sm[lc[pre]]; // 对应区间相减
  int m = (l + r) >> 1;
  if (x >= k) return query(lc[rt], lc[pre], l, m, k);
  return query(rc[rt], rc[pre], m + 1, r, k - x);
}
int main() {
  scanf("%d%d", &n, &m);
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    scanf("%d", &a[i]);
    b[i] = a[i];
  }
  // 离散化
  sort(b + 1, b + 1 + n);
  q = unique(b + 1, b + 1 + n) - b - 1; 
  build(rt[0], 1, q);
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    int pos = lower_bound(b + 1, b + 1 + q, a[i]) - b;
    update(rt[i], rt[i - 1], 1, q, pos);
  }
  while (m--) {
    int l, r, k;
    scanf("%d%d%d", &l, &r, &k);
    printf("%d\n", b[query(rt[r], rt[l - 1], 1, q, k)]);
  }
  return 0;
}

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权值线段树

可持久化权值线段树（主席树）

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