- 李奕樊 的博客
初中数学公式及证明过程
- 2024-11-13 23:45:15 @
1. 常用代数公式
1.1 立方和公式
公式:
证明:
- 考虑 :
1.2 完全平方公式
公式:
证明:
- 展开:$$(a + b)(a + b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$
- 展开:$$(a - b)(a - b) = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2 $$
1.3 二项式定理
对于任意整数 和任意数 和 ,二项式定理可以表示为:
其中 是组合数,计算方法为:
1.4 平方差公式
** 公式 **
** 证明 **
$$ (a - b)(a + b) = a^2 + ab - ab - b^2 = a^2 - b^2 $$2. 几何定理
2.1 毕达哥拉斯定理(勾股定理)
公式: 在一个直角三角形中,斜边 的平方等于两直角边 和 的平方和:
证明:
- 在直角三角形中作一个正方形,边长为 ,面积为 。
- 在这个正方形内部,可以构造两个边长分别为 和 的正方形。其面积分别为 和 。
- 因此,有:
2.2 同底同高的三角形面积相等定理
公式: 若两个三角形的底边相等且对应的高相等,则它们的面积相等。
证明:
- 设两个三角形 和 ,它们的底边分别为 和 ,高均为 。
- 则这两个三角形的面积分别为:
- 显然 。
3. 等差数列求和公式
公式: 一项等差数列的前 项和:
$$S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \quad \text{或} \quad S_n = \frac{n}{2} \times [2a + (n-1)d] $$(其中 是第一项, 是第 项, 是公差)
证明:
- 设数列的第一项为 ,最后一项为 。
- 列出前 项和 :
- 从后往前写一次:
- 两式相加:
4. 等比数列求和公式
等比数列是指一个数列中,每一项与前一项的比值(公比)是一个固定的常数。这种数列的求和公式是非常常用的一种数学工具。
等比数列的定义
设一个等比数列的首项为 ,公比为 ,则它的前 项为:
等比数列的求和公式
前 项的和 的公式如下:
我们可以通过以下方式推导出这个公式:
推导过程
-
写出等比数列的和:
-
将方程两边都乘以公比 :
-
将两者相减:
这里,左边为 减去 ,右边为首项差去掉最后一项。
-
整理上式:
-
得到求和公式: 如果 ,我们可以解决 :
特殊情况
- 如果 : 当公比 时,所有项都相同,前 项和为:
总结
因此,等比数列前 项的和为:
5. 幂的相关公式
幂的定义
- 如果 是一个数, 是一个整数,那么 表示 自身乘 次。
幂的基本性质
-
乘法法则:
-
除法法则:
-
幂的幂:
-
乘方的乘方:
-
零的幂:
-
负幂:
6. 根号的相关公式
根号的定义
- 根号表示一个数的平方根或其他次根,通常用符号 表示。
根号的基本性质
-
乘法:
$$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b} \quad (a \geq 0, b \geq 0) $$ -
除法:
$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \quad (b \neq 0) $$ -
平方:
-
根号的幂:
7. 对数的相关公式
对数的定义
- 对数是指数的反运算,表示以某个底数的幂等于另一个数。
对数的基本性质
-
底数性质:
-
真数性质:
-
乘法法则:
-
除法法则:
$$\log_a\left(\frac{m}{n}\right) = \log_a(m) - \log_a(n) $$ -
幂法则:
-
换底公式:
$$\log_a(b) = \frac{\log_c(b)}{\log_c(a)} \quad (c \text{ 为任意正数} \neq 1) $$
8. 取模的相关公式
取模的定义
- 取模运算是求一个整数除以另一个整数的余数,记作 。
取模的基本性质
-
基本性质:
-
取模与加法:
-
取模与减法:
$$(a - b) \mod n = [(a \mod n) - (b \mod n) + n] \mod n $$ -
取模与乘法:
$$(a \times b) \mod n = [(a \mod n) \times (b \mod n)] \mod n $$ -
取模与幂:
-
分数幂 分数幂是指一个数的指数为分数的情况。形式为 ,其中:
- 是底数,
- 是分子,
- 是分母。 公式
这意味着:
- 将 的 m 次方取 n 次根,或者
- 先取 的 n 次根,然后再将结果提升到 m 次方。
性质
-
乘法法则:
$$a^{\frac{m_1}{n}} \times a^{\frac{m_2}{n}} = a^{\frac{m_1 + m_2}{n}} $$ -
除法法则:
$$\frac{a^{\frac{m}{n}}}{a^{\frac{k}{n}}} = a^{\frac{m - k}{n}} $$ -
幂的幂:
9. 平面图形的周长和面积
9.1 矩形
-
面积:
其中 为长, 为宽。
-
周长:
9.2 正方形
-
面积:
其中 为边长。
-
周长:
9.3 三角形
-
面积:
其中 为底, 为高。
-
周长(假设三角形的三边分别为 ):
9.4 多边形
对于 边形(边数为 ,边长为 ):
-
面积:多边形的面积计算较为复杂,常用的有特定的公式,或者可以分解为三角形来计算。对于正多边形(如正五边形、正六边形等)有特定公式:
- 正 边形:$$A = \frac{1}{4}n a^2 \cot\left(\frac{\pi}{n}\right) $$其中 为边长。
-
周长:
9.5 圆
-
面积:
其中 为半径。
-
周长(也称为圆周):
9.6 椭圆
-
面积:
其中 为长半轴, 为短半轴。
-
周长:椭圆的周长没有简单的解析表达式,一般可以用以下近似公式:
$$P \approx \pi \left( 3(a + b) - \sqrt{(3a + b)(a + 3b)} \right) $$
9.7 梯形
-
面积:
其中 为上底, 为下底, 为高。
-
周长:
其中 和 为梯形的两条非平行边的长度。
10. 立体图形的表面积和体积
下面是正方体、长方体、球、椭球、圆柱、圆锥、棱柱和棱锥的表面积和体积的公式。
10.1 正方体
-
表面积:
其中 为边长。
-
体积:
10.2 长方体
-
表面积:
其中 为长, 为宽, 为高。
-
体积:
10.3 球
-
表面积:
其中 为半径。
-
体积:
10.4 椭球
-
表面积(近似公式):
$$S \approx 4\pi \left( \frac{a^{p}b^{p}c^{p}}{3} \right)^{\frac{1}{p}} $$其中 分别为椭球的三条轴的半径, 通常取约接近于1.6075。
-
体积:
10.5 圆柱
-
表面积:
其中 为底面半径, 为高度。
-
体积:
10.6 圆锥
-
表面积:
其中 为底面半径, 为母线长度(可用勾股定理计算:)。
-
体积:
10.7 棱柱
-
表面积:
其中 为底面面积, 为底面周长, 为高。
-
体积:
10.8 棱锥
-
表面积:
其中 为底面面积, 为底面周长, 为母线长度。
-
体积: