1. 常用代数公式

1.1 立方和公式

公式a3+b3=(a+b)(a2ab+b2) a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

证明

  • 考虑 a3+b3 a^3 + b^3 a3+b3=a3+b3+3ab(a+b)3ab(a+b)a^3 + b^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b) - 3ab(a + b) =(a+b)(a2ab+b2)= (a + b)(a^2 - ab + b^2)

1.2 完全平方公式

公式

  1. (a+b)2=a2+2ab+b2 (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
  2. (ab)2=a22ab+b2 (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

证明

  1. (a+b)2 (a + b)^2 展开:$$(a + b)(a + b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$
  2. (ab)2 (a - b)^2 展开:$$(a - b)(a - b) = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2 $$

1.3 二项式定理

对于任意整数 n n 和任意数 a a b b ,二项式定理可以表示为:

(a+b)n=k=0n(nk)ankbk(a + b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

其中 (nk) \binom{n}{k} 是组合数,计算方法为:

(nk)=n!k!(nk)!\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

1.4 平方差公式

** 公式 **

a2b2=(ab)(a+b)a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

** 证明 **

$$ (a - b)(a + b) = a^2 + ab - ab - b^2 = a^2 - b^2 $$

2. 几何定理

2.1 毕达哥拉斯定理(勾股定理)

公式: 在一个直角三角形中,斜边 c c 的平方等于两直角边 a a b b 的平方和:

c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2

证明

  • 在直角三角形中作一个正方形,边长为 c c ,面积为 c2 c^2
  • 在这个正方形内部,可以构造两个边长分别为 a a b b 的正方形。其面积分别为 a2 a^2 b2 b^2
  • 因此,有:
c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2

2.2 同底同高的三角形面积相等定理

公式: 若两个三角形的底边相等且对应的高相等,则它们的面积相等。

证明

  • 设两个三角形 ABC ABC DEF DEF ,它们的底边分别为 a a a a ,高均为 h h
  • 则这两个三角形的面积分别为:
S1=12×a×hS_1 = \frac{1}{2} \times a \times h S2=12×a×hS_2 = \frac{1}{2} \times a \times h
  • 显然 S1=S2 S_1 = S_2

3. 等差数列求和公式

公式: 一项等差数列的前 n n 项和:

$$S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \quad \text{或} \quad S_n = \frac{n}{2} \times [2a + (n-1)d] $$

(其中 a1 a_1 是第一项,an a_n 是第 n n 项,d d 是公差)

证明

  1. 设数列的第一项为 a1 a_1 ,最后一项为 an a_n
  2. 列出前 n n 项和 Sn S_n
$$S_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + ... + (a_1 + (n-1)d) $$
  1. 从后往前写一次:
Sn=an+(and)+(an2d)+...+a1S_n = a_n + (a_n - d) + (a_n - 2d) + ... + a_1
  1. 两式相加:
$$2S_n = n(a_1 + a_n) \rightarrow S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) $$

4. 等比数列求和公式

等比数列是指一个数列中,每一项与前一项的比值(公比)是一个固定的常数。这种数列的求和公式是非常常用的一种数学工具。

等比数列的定义

设一个等比数列的首项为 a a ,公比为 r r ,则它的前 n n 项为:

a,ar,ar2,ar3,,arn1a, ar, ar^2, ar^3, \ldots, ar^{n-1}

等比数列的求和公式

n n 项的和 Sn S_n 的公式如下:

Sn=a+ar+ar2+ar3++arn1S_n = a + ar + ar^2 + ar^3 + \ldots + ar^{n-1}

我们可以通过以下方式推导出这个公式:

推导过程

  1. 写出等比数列的和

    Sn=a+ar+ar2+ar3++arn1S_n = a + ar + ar^2 + ar^3 + \ldots + ar^{n-1}
  2. 将方程两边都乘以公比 r r

    rSn=ar+ar2+ar3+ar4++arnr S_n = ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + \ldots + ar^n
  3. 将两者相减

    SnrSn=aarnS_n - r S_n = a - ar^n

    这里,左边为 Sn S_n 减去 rSn r S_n ,右边为首项差去掉最后一项。

  4. 整理上式

    Sn(1r)=a(1rn)S_n(1 - r) = a(1 - r^n)
  5. 得到求和公式: 如果 r1 r \neq 1 ,我们可以解决 Sn S_n

    Sn=a(1rn)1rS_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}

特殊情况

  1. 如果 r=1 r = 1 : 当公比 r=1 r = 1 时,所有项都相同,前 n n 项和为:Sn=naS_n = na

总结

因此,等比数列前 n n 项的和为:

Sn=a(1rn)1r(r1)S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \quad (r \neq 1)

5. 幂的相关公式

幂的定义

  • 如果 a a 是一个数,n n 是一个整数,那么 an a^n 表示 a a 自身乘 n n 次。

幂的基本性质

  1. 乘法法则

    am×an=am+na^m \times a^n = a^{m+n}
  2. 除法法则

    aman=amn(a0)\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad (a \neq 0)
  3. 幂的幂

    (am)n=am×n(a^m)^n = a^{m \times n}
  4. 乘方的乘方

    (ab)n=an×bn(ab)^n = a^n \times b^n
  5. 零的幂

    a0=1(a0)a^0 = 1 \quad (a \neq 0)
  6. 负幂

    an=1an(a0)a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (a \neq 0)

6. 根号的相关公式

根号的定义

  • 根号表示一个数的平方根或其他次根,通常用符号 \sqrt{\cdot} 表示。

根号的基本性质

  1. 乘法

    $$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b} \quad (a \geq 0, b \geq 0) $$
  2. 除法

    $$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \quad (b \neq 0) $$
  3. 平方

    (a)2=a(a0)(\sqrt{a})^2 = a \quad (a \geq 0)
  4. 根号的幂

    (an)m=amn(\sqrt[n]{a})^m = a^{\frac{m}{n}}

7. 对数的相关公式

对数的定义

  • 对数是指数的反运算,表示以某个底数的幂等于另一个数。

对数的基本性质

  1. 底数性质

    loga(a)=1\log_a(a) = 1
  2. 真数性质

    loga(1)=0\log_a(1) = 0
  3. 乘法法则

    loga(m×n)=loga(m)+loga(n)\log_a(m \times n) = \log_a(m) + \log_a(n)
  4. 除法法则

    $$\log_a\left(\frac{m}{n}\right) = \log_a(m) - \log_a(n) $$
  5. 幂法则

    loga(mn)=nloga(m)\log_a(m^n) = n \cdot \log_a(m)
  6. 换底公式

    $$\log_a(b) = \frac{\log_c(b)}{\log_c(a)} \quad (c \text{ 为任意正数} \neq 1) $$

8. 取模的相关公式

取模的定义

  • 取模运算是求一个整数除以另一个整数的余数,记作 amodn a \mod n

取模的基本性质

  1. 基本性质

    amodn=r(r 为余数,0r<n)a \mod n = r \quad (r \text{ 为余数}, 0 \leq r < n)
  2. 取模与加法

    (a+b)modn=[(amodn)+(bmodn)]modn(a + b) \mod n = [(a \mod n) + (b \mod n)] \mod n
  3. 取模与减法

    $$(a - b) \mod n = [(a \mod n) - (b \mod n) + n] \mod n $$
  4. 取模与乘法

    $$(a \times b) \mod n = [(a \mod n) \times (b \mod n)] \mod n $$
  5. 取模与幂

    (ab)modn=[(amodn)b]modn(a^b) \mod n = [(a \mod n)^b] \mod n
  6. 分数幂 分数幂是指一个数的指数为分数的情况。形式为 amn a^{\frac{m}{n}} ,其中:

  • a a 是底数,
  • m m 是分子,
  • n n 是分母。 公式
$$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = \left( \sqrt[n]{a} \right)^m $$

这意味着:

  • a a 的 m 次方取 n 次根,或者
  • 先取 a a 的 n 次根,然后再将结果提升到 m 次方。

性质

  1. 乘法法则

    $$a^{\frac{m_1}{n}} \times a^{\frac{m_2}{n}} = a^{\frac{m_1 + m_2}{n}} $$
  2. 除法法则

    $$\frac{a^{\frac{m}{n}}}{a^{\frac{k}{n}}} = a^{\frac{m - k}{n}} $$
  3. 幂的幂

    (amn)p=ampn\left(a^{\frac{m}{n}}\right)^p = a^{\frac{mp}{n}}

9. 平面图形的周长和面积

9.1 矩形

  • 面积

    A=l×wA = l \times w

    其中 l l 为长,w w 为宽。

  • 周长

    P=2(l+w)P = 2(l + w)

9.2 正方形

  • 面积

    A=a2A = a^2

    其中 a a 为边长。

  • 周长

    P=4aP = 4a

9.3 三角形

  • 面积

    A=12×b×hA = \frac{1}{2} \times b \times h

    其中 b b 为底,h h 为高。

  • 周长(假设三角形的三边分别为 a,b,c a, b, c ):

    P=a+b+cP = a + b + c

9.4 多边形

对于 n n 边形(边数为 n n ,边长为 a1,a2,,an a_1, a_2, \ldots, a_n ):

  • 面积:多边形的面积计算较为复杂,常用的有特定的公式,或者可以分解为三角形来计算。对于正多边形(如正五边形、正六边形等)有特定公式:

    • n n 边形:$$A = \frac{1}{4}n a^2 \cot\left(\frac{\pi}{n}\right) $$其中 a a 为边长。
  • 周长

    P=a1+a2++anP = a_1 + a_2 + \ldots + a_n

9.5 圆

  • 面积

    A=πr2A = \pi r^2

    其中 r r 为半径。

  • 周长(也称为圆周):

    C=2πrC = 2\pi r

9.6 椭圆

  • 面积

    A=π×a×bA = \pi \times a \times b

    其中 a a 为长半轴,b b 为短半轴。

  • 周长:椭圆的周长没有简单的解析表达式,一般可以用以下近似公式:

    $$P \approx \pi \left( 3(a + b) - \sqrt{(3a + b)(a + 3b)} \right) $$

9.7 梯形

  • 面积

    A=12×(a+b)×hA = \frac{1}{2} \times (a + b) \times h

    其中 a a 为上底,b b 为下底,h h 为高。

  • 周长

    P=a+b+c+dP = a + b + c + d

    其中 c c d d 为梯形的两条非平行边的长度。

10. 立体图形的表面积和体积

下面是正方体、长方体、球、椭球、圆柱、圆锥、棱柱和棱锥的表面积和体积的公式。

10.1 正方体

  • 表面积

    S=6a2S = 6a^2

    其中 a a 为边长。

  • 体积

    V=a3V = a^3

10.2 长方体

  • 表面积

    S=2(lw+lh+wh)S = 2(lw + lh + wh)

    其中 l l 为长,w w 为宽,h h 为高。

  • 体积

    V=l×w×hV = l \times w \times h

10.3 球

  • 表面积

    S=4πr2S = 4\pi r^2

    其中 r r 为半径。

  • 体积

    V=43πr3V = \frac{4}{3}\pi r^3

10.4 椭球

  • 表面积(近似公式):

    $$S \approx 4\pi \left( \frac{a^{p}b^{p}c^{p}}{3} \right)^{\frac{1}{p}} $$

    其中 a,b,c a, b, c 分别为椭球的三条轴的半径,p p 通常取约接近于1.6075。

  • 体积

    V=43πabcV = \frac{4}{3}\pi abc

10.5 圆柱

  • 表面积

    S=2πr(h+r)S = 2\pi r(h + r)

    其中 r r 为底面半径,h h 为高度。

  • 体积

    V=πr2hV = \pi r^2 h

10.6 圆锥

  • 表面积

    S=πr(r+l)S = \pi r(r + l)

    其中 r r 为底面半径,l l 为母线长度(可用勾股定理计算:l=r2+h2 l = \sqrt{r^2 + h^2} )。

  • 体积

    V=13πr2hV = \frac{1}{3}\pi r^2 h

10.7 棱柱

  • 表面积

    S=2Ab+PbhS = 2A_b + P_b h

    其中 Ab A_b 为底面面积,Pb P_b 为底面周长,h h 为高。

  • 体积

    V=AbhV = A_b h

10.8 棱锥

  • 表面积

    S=Ab+12PblS = A_b + \frac{1}{2}P_b l

    其中 Ab A_b 为底面面积,Pb P_b 为底面周长,l l 为母线长度。

  • 体积

    V=13AbhV = \frac{1}{3}A_b h